ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน
   

จำนวนจริง (4)
 
ระดับชั้น : ม.4

หน้า1 หน้า2 หน้า3 หน้า5 หน้า6 หน้า7




การแก้สมการ หรือการหาคำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว หมายถึงการหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a ≠ 0 ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริงดังนี้

    ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และ ab = 0 แล้ว a หรือ b อย่างน้อยหนึ่งตัวต้องเป็นศูนย์
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ///x(x - 2) = 0
วิธีทำ ถ้า
x(x - 2)
=
0
จะได้ว่า
x
=
0
หรือ
x - 2
=
0
,
x = 2
ดังนั้น 0 และ 2 เป็นคำตอบของสมการ x(x - 2) = 0

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของสมการ///(x - 2)(x - 3) = 0
วิธีทำ ถ้า
(x - 2)(x - 3)
=
0
จะได้ว่า
x - 2
=
0
,
x = 2
หรือ
x - 3
=
0
,
x = 3
ดังนั้น 2 และ 3 เป็นคำตอบของสมการ (x - 2)(x - 3) = 0

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า การหาคำตอบของสมการคือการหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง

ตัวอย่างที่ 3 จงหาคำตอบของสมการ///x2 - 4x + 3 = 0
วิธีทำ แยกตัวประกอบของ///x2 - 4x + 3 = 0///จะได้
///x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)
หาคำตอบของสมการ///(x - 3)(x - 1) = 0///โดยหา x ที่ทำให้
///x - 3 = 0 หรือ x - 1 = 0
นั่นคือ ///x = 3 หรือ x = 1
ตรวจสอบคำตอบโดยการแทน x ในสมการ x2 - 4x + 3 = 0 ด้วย 1 หรือ 3
เมื่อแทน x ด้วย 1 จะได้
///(1)2 - 4(1) + 3
=
0///ซึ่งเป็นจริง
เมื่อแทน x ด้วย 3 จะได้
///(3)2 - 4(3) + 3
=
0///ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น 1 และ 3 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 4x + 3 = 0

ในการแก้สมการกำลังสอง นอกจากใช้วิธีการแยกตัวประกอบดังที่กล่าวมาแล้ว ยังสามารถใช้สูตรเพื่อหาคำตอบของสมการกำลังสองโดยหา x จากสมการ ax2 + bx + c = 0 ดังนี้

กรณีที่ a > 0

จาก ax2 + bx + c = 0
x2 + ba x + ca = 0 คูณด้วย 1a
x2 + ba x = -ca บวกด้วย -ca
ทำสมการข้างต้นให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยบวกด้วย b24a2
จะได้ x2 + ba x + b24a2 = -ca + b24a2
เนื่องจาก (x + b2a)2 = (x + b2a)(x + b2a) = x2 + ba x + (b24a2)
ดังนั้น (x + b2a)2 = -ca + b24a2
(x + b2a)2 = b2 - 4ac4a2
x + b2a///=/// ,///x + b2a///= - ///เมื่อ b2 - 4ac ≥ 0
x + b2a///=/// ,///x + b2a///= -
x///=///- b2a + ,///x///=///- b2a -
เขียนคำตอบทั้งสองของสมการโดยใช้เครื่องหมาย ± เพื่อให้ง่ายต่อการจำได้ดังนี้
x///=///- b2a ±
จะได้ x///=//////เมื่อ b2 - 4ac ≥ 0
ข้อสังเกต ในการหาคำตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0
โดยใช้สูตร x = นั้น
ค่าของ x จะเป็นจำนวนจริง เมื่อ b - 4ac ≥ 0
ฉะนั้น จะใช้สูตรเพื่อหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ
ฉะนั้น เมื่อ b2 - 4ac ≥ 0 เท่านั้น

ตัวอย่างที่ 4

จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ โดยใช้สูตร

1) 3x2 - 11 = 0
2) -x2 + x - 5 = 0
วิธีทำ 1) 3x2 - 11 = 0
เมื่อเทียบกับสมการ ax2 + bx + c = 0
จะได้///a = 3 , b = 0 , c = -11
b2 - 4ac
= 02 - 4(3) - 11
= 132
จาก
x
=
จะได้
x
= -0 ± 2(3) = ± 22(3) = ±3
นั่นคือ 3 และ - 3 เป็นคำตอบของสมการ
2) -x2 + x - 5 = 0
เมื่อเทียบกับสมการ ax2 + bx + c = 0
จะได้///a = -1 , b = 1 , c = -5
b2 - 4ac = 12 - 4(-1)(-5) = -19
เนื่องจาก b2 - 4ac < 0
ดังนั้น จึงไม่สามารถหาคำตอบของสมการที่เป็นจำนวนจริงได้

ตัวอย่างที่ 5 ในหอประชุมของโรงเรียนแห่งหนึ่งพบว่า จำนวนเก้าอี้ในแต่ละแถวน้อยกว่า
จำนวนแถวทั้งหมดในหอประชุมอยู่ 8 ถ้ามีเก้าอี้ทั้งหมด 609 ตัว อยากทราบว่า
ในแต่ละแถวมีเก้าอี้กี่ตัว
วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนเก้าอี้ในแต่ละแถว
เนื่องจากจำนวนแถวของเก้าอี้มากกว่าจำนวนเก้าอี้ในแต่ละแถวอยู่ 8
ดังนั้น หอประชุมมีเก้าอี้ทั้งหมด x + 8 แถว
และมีเก้าอี้ทั้งหมด x(x + 8) ตัว
เนื่องจากมีเก้าอี้ทั้งหมด 609 ตัว
ดังนั้น
x(x + 8)
=
609
x2 + 8x - 609
=
0
(x - 21)(x + 29)
=
0
จะได้
x
=
21 หรือ x = -29
เนื่องจากจำนวนเก้าอี้จะต้องเป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น
x
=
21
นั่นคือ ในแต่ละแถวมีเก้าอี้ 21 ตัว
ตรวจสอบคำตอบโดยพิจารณาความสอดคล้องของคำตอบกับเงื่อนไขในโจทย์ดังนี้
เนื่องจากจำนวนแถวมากกว่าจำนวนเก้าอี้ในแต่ละแถวอยู่ 8
ดังนั้น หอประชุมมีเก้าอี้ 21 + 8 = 29 แถว และ 21 × 29 = 609
ทำให้สรุปได้ว่า 21 เป็นคำตอบของปัญหา

ตัวอย่างที่ 6 จงหาความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูสามเหลี่ยม ABC จากรูปที่กำหนดให้
วิธีทำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
AB2 + BC2
= AC2
จะได้
(x - 1)2 + (x + 2)2
= (x + 3)2
(x2 - 2x + 1) + (x2 + 4x + 4)
= x2 + 6x + 9
2x2 + 2x + 5
= x2 + 6x + 9
x2 - 4x - 4
= 0
(x2 - 2(2)x + 22) - 4 - 22
= 0
(x - 2)2 - 8
= 0
(x - 2)2
= 8
x - 2
= หรือ
x - 2
=
-

ตัวอย่างที่ 6 นั่นคือ
x
= 2 + 2 หรือ
x
=
2 - 2
ให้
x
= 2 - 2
จะได้
AB
= 2 - 2 - 1
=
1 - 2 ซึ่งน้อยกว่าศูนย์
เนื่องจากความยาวของด้านรูปสามเหลี่ยมจะต้องมากกว่าศูนย์
ตัวอย่างที่ 6 ดังนั้น
x
= 2 + 2 เพียงค่าเดียว
จะได้
AB
= (2 + 2) - 1
=
1 + 2
BC
= (2 + 2) + 2
=
4 + 2
AC
= (2 + 2) + 3
=
5 + 2

ตัวอย่างที่ 6 ตรวจสอบคำตอบ
นั่นคือ
AB2 + BC2
= AC2
(1 + 2)2 + (4 + 2)2
= (5 + 2)2
(1 + 4 + 8) + (16 + 16 + 8 )
= 25 + 20 + 8
33 + 20
= 33 + 20 ซึ่งเป็นจริง


  1. จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ โดยการแยกตัวประกอบ (คลิกที่โจทย์เพื่อดูคำตอบ)






  2. จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (คลิกที่โจทย์เพื่อดูคำตอบ)






  3. จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ โดยใช้สูตร (คลิกที่โจทย์เพื่อดูคำตอบ)







ที่มาข้อมูล : หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้น ม.4-6 หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ.2551
จำนวนคนอ่าน 7383 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved