ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

วงกลม (2)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า1 หน้า3 หน้า4


มุมในครึ่งวงกลม



จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ AC เป็นมุมในครึ่งวงกลม มีขนาด 90° หรือหนึ่งมุมฉาก

เพื่อพิสูจน์ข้อความที่คาดการณ์ว่า "มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90° หรือหนึ่งมุมฉาก" เป็นจริง น้องๆ พิจารณาได้จากการพิสูจน์ต่อไปนี้

    กำหนดให้ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม
    และ AC เป็นมุมในครึ่งวงกลม
    ต้องการพิสูจน์ว่า AC มีขนาด 90° หรือหนึ่งมุมฉาก

พิสูจน์ ลาก BO
เนื่องจาก AO = BO = CO (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน)
ดังนั้น Δ AOB และ Δ COB เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
(มีด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน)
จะได้ BÂO = AO และ BĈO = CO (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน)
เนื่องจาก BÂO + AO + BĈO + CO = 180° (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเท่ากับ 180 องศา)
ดังนั้น
2(AO) + 2(CO)
= 180 (แทนมุมที่มีขนาดเท่ากัน)
AO + CO
= (สมบัติของการเท่ากัน)
AC
= 90°
นั่นคือ AC มีขนาด 90° หรือหนึ่งมุมฉาก

จากการพิสูจน์ข้างต้น ทำให้ได้ทฤษฎีบทเพื่อใช้ในการอ้างอิงให้เหตุผลทางเรขาคณิตต่อไปได้ดังนี้



ตัวอย่าง
จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม
AĈB เป็นมุมภายในครึ่งวงกลมและ AÔD = 70°
จงหาขนาดของ BĈO พร้อมแสดงเหตุผล

วิธีทำ เนื่องจาก AO = CO (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน)
จะได้ Δ AOC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มีด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน)
ดังนั้น AĈO = CÂO (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน)
เนื่องจาก AÔD = AĈO + CÂO (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวก
ของขนาดมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)
จะได้ AÔD = 2(AĈO) (แทนมุมที่มีขนาดเท่ากัน)
หรือ AĈO = (สมบัติของการเท่ากัน)
เนื่องจาก AÔD = 70° (กำหนดให้)
จะได้ AĈO = = 35° (สมบัติของการเท่ากัน)
เนื่องจาก BĈO + AĈO = 90 (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90°)
จะได้ BĈO + 35 = 90 (แทน AĈO ด้วย 35)
ดังนั้น BĈO = 90 - 35 (สมบัติของการเท่ากัน)
BĈO = 55°
นั่นคือ BĈO มีขนาด 55°












มุมที่จุดศูนย์กลาง



จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AÔB เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของ AĈB ซึ่งเป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วย เดียวกัน













มุมในส่วนโค้งของวงกลม



จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AC และ AC เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วย เดียวกัน และมีขนาดเท่ากัน














มุมและส่วนโค้งที่รองรับมุม



จากรูป จุด O และจุด R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่เท่ากันทุกประการ AÔB และ เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน
m() และ m() เป็นส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางที่ยาวเท่ากัน



จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AÔB และ CÔD เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน m() และ m() เป็นส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางที่ยาวเท่ากัน





จากรูป จุด O และจุด R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่เท่ากันทุกประการ AĈB และ EF เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่มีขนาดเท่ากัน m() และ m() เป็นส่วนโค้งที่รองรับมุมที่ยาวเท่ากัน



กำหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AĈB และ AĈD เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่มีขนาดเท่ากัน m() และ m() เป็นส่วนโค้งที่รองรับมุมที่ยาวเท่ากัน





จากรูป จุด O และจุด R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่เท่ากันทุกประการ m() และ m() เป็นส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางที่ยาวเท่ากัน AÔB และ เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางที่มีขนาดเท่ากัน



จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม m() และ m() เป็นส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางที่ยาวเท่ากัน AÔB และ CÔD เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางที่มีขนาดเท่ากัน





จากรูป จุด O และ R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่เท่ากันทุกประการ m() และ m() เป็นส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับมุมที่ยาวเท่ากัน AĈB และ DÊF เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่มีขนาดเท่ากัน



จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม m() และ m() เป็นส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับมุมที่ยาวเท่ากัน AĈB และ AC เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่มีขนาดเท่ากัน


















ที่มาข้อมูล : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ พ.ศ.2544
จำนวนคนอ่าน 15616 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved