ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

ระบบสมการ (1)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า2

คลิก! ที่ตัวเลขข้างบนดูหน้าถัดไป >>

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว 20 เซนติเมตร และมีความยาวรอบรูปเท่ากับ 56 เซนติเมตร น้องๆ คิดว่าเราจะมีวิธีหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้อย่างไร

เราอาจใช้สมการหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าข้างต้น โดยให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง x เซนติเมตร ยาว y เซนติเมตร ดังรูป



จะได้สมการที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว สองสมการดังนี้

 
2(x + y)
= 56 ***

..........

 
x2 + y2
= 202    
หรือ
x2 + y2
= 400   ..........

จากนั้นจึงหาคู่อันดับ (a, b) ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสอง ซึ่งจำนวนบวก a และ b ที่หาได้นี้ คือ ความกว้างและความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านั่นเอง

สมการทั้งสองข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของระบบสมการ ที่มีสมการ เป็นสมการเชิงเส้น และสมการ เป็นสมการดีกรีสอง

น้องๆ เคยเรียนเรื่องการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัวมาแล้ว ในบทนี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัว และเลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เกิน 2


ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสองจะมีรูปทั่วไปดังนี้

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Px + Qy + R
= 0

เมื่อ x, y เป็นตัวแปร และ A, B, C, D, E, F, P, Q, R เป็นจำนวนจริง โดยที่ A, B, C ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันและ P, Q ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน

ในที่นี้ Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 เป็นรูปทั่วไปของสมการดีกรีสอง และ Px + Qy + R = 0 เป็นรูปทั่วไปของสมการเชิงเส้น

คำตอบของระบบสมการข้างต้นคือ คู่อันดับ (a, b) ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองของระบบสมการหรือคู่อันดับ (a, b) ที่เมื่อแทน x ด้วย a และแทน y ด้วย b ในสมการทั้งสองของระบบสมการ แล้วทำให้สมการทั้งสองนั้นเป็นจริง

การแก้ระบบสมการคือ การหาคำตอบของระบบสมการ

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

1.
x + y
= 8
 
x2 + y2
= 64
2.
x - 2y
= 1
 
x2 + xy + y2
= 3
3.
x2 - y
= 0
 
2x - y
= 1
4.
y2 - x
= 0
 
2y - x
= 1

เราอาจหาคำตอบของระบบสมการโดยใช้สมบัติของการเท่ากัน ซึ่งได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวกและสมบัติการคูณ การหาคำตอบของระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง เรานิยมเขียนตัวแปรหนึ่งในสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง แล้วนำตัวแปรนั้นไปแทนค่าในสมการดีกรีสอง โดยใช้หลักการแทนค่า ซึ่งเป็นการใช้สมบัติของการเท่ากันในการแก้สมการ ทั้งนี้ เพื่อให้ได้สมการดีกรีสองที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวนั่นเอง

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสองอาจมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว มีคำตอบสองคำตอบหรือไม่มีคำตอบเลยก็ได้

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ          
   
x + y
= 8    
   
x2 + y2
= 64    
วิธีทำ  
x + y
= 8 *** ..........
   
x2 + y2
= 64  

..........

  จากสมการ จะได้
y
= 8 - x    
ตัวอย่างที่ 1 แทน y ด้วย 8 - x ในสมการ
  จะได้
x2 + (8 - x)2
= 64
   
x2 + (64 - 16x + x2)
= 64
   
2x2 - 16x + 64
= 64
   
2x2 - 16x
= 0
   
2x(x - 8)
= 0
ตัวอย่างที่ 1          
2x
= 0 หรือ x - 8 = 0
           
x
= 0 หรือ
x
= 8
  นั่นคือ x = 0 หรือ
x
= 8        
  แทน x ด้วย 0 ในสมการ
y
= 8 - x
  จะได้
y
= 8 - 0
   
= 8
  และแทน x ด้วย 8 ในสมการ
y
= 8 - x
  จะได้
y
= 8 - 8
ตัวอย่างที่ 1  
= 0
ตัวอย่างที่ 1 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการอาจเป็น (0, 8) และ (8, 0)
ตรวจสอบ
ตัวอย่างที่ 1 สำหรับ (0, 8) แทน x ด้วย 0 และแทน y ด้วย 8 ในสมการ และ ตามลำดับ
ตัวอย่างที่ 1 จะได้
0 + 8
= 8 เป็นสมการที่เป็นจริง
  และ
02 + 82
= 64 เป็นสมการที่เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 1 สำหรับ แทน x ด้วย 8 และแทน y ด้วย 0 ในสมการ และ ตามลำดับ
ตัวอย่างที่ 1 จะได้
8 + 0
= 8 เป็นสมการที่เป็นจริง
  และ
82 + 02
= 64 เป็นสมการที่เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 1 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (0, 8) และ (8, 0)
  ตอบ (0, 8) และ (8, 0)

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ
x + y
= 15
xy
= -34
วิธีทำ
x + y
= 15 *** ..........
xy
= -34 ..........
จากสมการ จะได้
y
= 15 - x
ตัวอย่างที่ 2 แทน y ด้วย 15 - x ในสมการ
จะได้ x(15 - x) = -34
15x - x2 = -34
x2 - 15x - 34 = 0
(x - 17)(x + 2) = 0
ตัวอย่างที่ 2 จะได้ x - 17 = 0 หรือ x + 2 = 0
x
= 17 หรือ
x
= -2
ตัวอย่างที่ 2 แทน x ด้วย 17 ในสมการ y = 15 - x
จะได้ y = 15 - 17
= -2
แทน x ด้วย -2 ในสมการ y = 15 - x
จะได้ y = 15 - (-2)
= 17
ตัวอย่างที่ 2 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการอาจเป็น (17, -2) และ (-2, 17)
ตรวจสอบ
สำหรับ (17, -2) แทน x ด้วย 17 และแทน y ด้วย -2 ในสมการ และ ตามลำดับ
ตัวอย่างที่ 2 จะได้ 17 + (-2) = 15 เป็นสมการที่เป็นจริง
และ
(17)(-2)
= -34 เป็นสมการที่เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 2 สำหรับ (-2, 17) แทน x ด้วย -2 และแทน y ด้วย 17 ในสมการ และ ตามลำดับ
ตัวอย่างที่ 2 จะได้ (-2) + 17 = 15 เป็นสมการที่เป็นจริง
และ
(-2)(17)
= -34 เป็นสมการที่เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 2 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (17, -2) และ (-2, 17)
ตอบ (17, -2) และ (-2, 17)

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ          
   
x2 + xy + y2
= -2    
   
x + y
= 1    
วิธีทำ  
x2 + xy + y2
= -2 *** ..........
   
x + y
= 1   ..........
  จากสมการ จะได้
y
= 1 - x   ..........
ตัวอย่างที่ 3 แทน y ด้วย 1 - x ในสมการ
  จะได้
x2 + x(1 - x) + (1 - x)2
= -2
   
x2 + x - x2 + 1 - 2x + x2
= -2
   
x2 - x + 3
= 0
   
x
=
   
x
=
  จะเห็นว่า x ไม่เป็นจำนวนจริง
  ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ
  ตอบ ไม่มีคำตอบ

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

ตัวอย่างที่ 4 ที่ดินแปลงหนึ่งมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีความยาวรอบรูป 72 เมตร มีพื้นที่ 320 ตารางเมตร
  จงหาขนาดของที่ดินแปลงนี้
วิธีทำ ให้ที่ดินแปลงนี้มีความยาว x เมตร และกว้าง y เมตร
  ที่ดินนี้มีความยาวรอบรูป 72 เมตร
ตัวอย่างที่ 4 จะได้สมการเป็น
2x + 2y

=

72 *** ..........
  ที่ดินแปลงนี้มีพื้นที่ 320 ตารางเมตร
  จะได้สมการเป็น
xy
= 320   ..........
  จากสมการ จะได้
y
=    
      = 36 - x    
  แทน y ด้วย 36 - x ในสมการ
  จะได้
x(36 - x)
= 320    
   
36x - x2
= 320    
   
x2 - 36x + 320
= 0    
   
(x - 16)(x - 20)
= 0    
ตัวอย่างที่ 4 ดังนั้น x - 16 = 0 หรือ x - 20 = 0
  จะได้
x
= 16 หรือ
x
= 20
ตัวอย่างที่ 4 แทน x ด้วย 16 ในสมการ y = 36 - x
  จะได้ y = 36 - 16
      = 20
  แทน x ด้วย 20 ในสมการ y = 36 - x
  จะได้ y = 36 - 20
      = 16
ตรวจสอบ  
ตัวอย่างที่ 4 ถ้าให้ที่ดินแปลงนี้กว้าง 16 เมตร ยาว 20 เมตร
  จะได้ความยาวรอบรูปเป็น 2(16) + 2(20) = 72 เมตร
  และมีพื้นที่ 16 × 20 ตารางเมตร ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์
  ดังนั้น ที่ดินแปลงนี้มีขนาด 16 × 20 ตารางเมตร
  ตอบ ที่ดินแปลงนี้มีขนาด 16 × 20 ตารางเมตร


แบบฝึกหัดที่ 1

1. จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ (คลิกที่โจทย์เพื่อดูคำตอบ)





2. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งเท่ากับ 216 ตารางเซนติเมตร และความยาวรอบรูปเท่ากับ 60 เซนติเมตร จงหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปนี้




หมายเหตุ : ในการแก้ระบบสมการ ควรต้องตรวจสอบคำตอบทุกครั้งโดยอาจไม่แสดงให้เห็นในวิธีทำก็ได้




ที่มาข้อมูล : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ พ.ศ.2544
จำนวนคนอ่าน 19920 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved