ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

การให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (2)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า1 หน้า3


ในการพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการหรือไม่ เราไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเงื่อนไขของการเท่ากันของขนาดของมุมและความยาวของด้านให้ครบทั้งหกคู่ เราสามารถตรวจสอบโดยใช้เงื่อนไขตามทฤษฎีบทซึ่งจะกล่าวถึงโดยไม่พิสูจน์ ต่อไปนี้

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กับแบบ ด้าน - มุม - ด้าน (ด.ม.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ


ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม - ด้าน - มุม (ม.ด.ม.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองยาวเท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ


ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ (มุม - มุม - ด้าน หรือ ม.ม.ด.)


เราสามารถนำทฤษฎีบทข้างต้น ที่แสดงเงื่อนไขเกี่ยวกับความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม มาใช้อ้างอิงในการพิสูจน์ ดังตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า จุดใดๆ ที่อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุมมุมหนึ่ง ย่อมอยู่ห่างจากแขนทั้งสองข้างของมุมนั้นเป็นระยะเท่ากัน
/////
กำหนดให้ แบ่งครึ่ง BÂC จุด E เป็นจุดบน --- EP และ EQ ตั้งฉากกับ และ ที่จุด P และจุด Q ตามลำดับ
ต้องการพิสูจน์ว่า EP = EQ
พิสูจน์ ใน Δ AEP และ Δ AEQ
PÂE = QÂE ( แบ่งครึ่ง BÂC)
AE = = 90° (กำหนดให้)
AE = AE (AE เป็นด้านร่วม)
ดังนั้น Δ AEP Δ AEQ (ม.ม.ด.)
ต้องการพิสูจน์ว่า จะได้ EP = EQ (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน)


ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบท ด้านทั้งสองด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งจะยาวเท่ากัน
ก็ต่อเมื่อ มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ จะแยกพิสูจน์เป็นสองตอน ดังนี้

  1. พิสูจน์ว่า ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน แล้วมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน จะมีขนาดเท่ากัน ดูการพิสูจน์


  2. พิสูจน์ว่า ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองมุม แล้วด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน จะยาวเท่ากัน ดูการพิสูจน์
เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้านเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นผลที่ได้จากการพิสูจน์ตอนที่ 1 คือสมบัติข้อหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่กล่าวว่า มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน และผลที่ได้จากการพิสูจน์ตอนที่ 2 คือสมบัติข้อหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่กล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดของมุมเท่ากันสองมุมเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบทที่จะกล่าวถึงโดยไม่มีการพิสูจน์ต่อไปนี้ เป็นทฤษฎีบทที่ใช้เป็นเงื่อนไขในการตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมอีกทฤษฎีบทหนึ่ง ที่เคยทราบมาแล้ว


ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน - ด้าน - ด้าน (ด.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ


ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นอีกทฤษฎีบทที่ใช้ในการตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ด้วยเงื่อนไขที่ไม่เคยทราบมาก่อน

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉาก
ยาวเท่ากัน และมีด้านอื่นอีกด้านหนึ่งยาวเท่ากัน แล้ว
รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
(ฉาก - ด้าน - ด้าน หรือ ฉ.ด.ด.)



↑ คลิกที่รูปด้านบนเพื่อดูการพิสูจน์ ↑



แบบฝึกหัดที่ 2 ตอนที่ 1

  1. กำหนดให้ AC และ BD แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด M จงพิสูจน์ว่า ขนานกับ


  2. กำหนดให้ Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยที่ AB = AC ลาก CD และ BE ตั้งฉากกับ AB และ AC ที่จุด D และจุด E ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า CD = BE และ AD = AE


  3. Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ Â = = Ĉ จงพิสูจน์ว่า Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า



ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่ ต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์สมบัติเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เคยทราบมาแล้วแต่ยังไม่ได้มีการพิสูจน์

ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน



↑ คลิกที่รูปด้านบนเพื่อดูการพิสูจน์ ↑


บทกลับของทฤษฎีบทข้างต้น คือ ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันสองคู่
แล้วรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน



↑ คลิกที่รูปด้านบนเพื่อดูการพิสูจน์ ↑

จากทฤษฎีบทสองทฤษฎีบท ที่พิสูจน์มาข้างต้นสามารถเขียนเป็นทฤษฎีบทเดียวกันโดยเชื่อมด้วย "ก็ต่อเมื่อ" ได้ดังนี้ รูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ก็ต่อเมื่อ ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมนั้นยาวเท่ากันสองคู่


ทฤษฎีบท มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน




↑ คลิกที่รูปด้านบนเพื่อดูการพิสูจน์ ↑


บทกลับของทฤษฎีบทนี้ คือ ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงข้ามที่มีขนาดเท่ากันสองคู่
แล้วรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน



↑ คลิกที่รูปด้านบนเพื่อดูการพิสูจน์ ↑


ทฤษฎีบท เส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่ง
ซึ่งกันและกันที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม

ให้น้องๆ พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นแบบฝึกหัด

ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงที่ปิดหัวท้ายของส่วนของเส้นตรงที่
ขนานกันและยาวเท่ากัน จะขนานกันและยาวเท่ากัน



↑ คลิกที่รูปด้านบนเพื่อดูการพิสูจน์ ↑


ผลจากทฤษฎีบทนี้ทำให้เราทราบว่า รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านที่อยู่ตรงข้ามกันคู่หนึ่งขนานกันและยาวเท่ากัน เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้าน
ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ จะขนานกับด้านที่สามและยาวเป็น
ครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม



↑ คลิกที่รูปด้านบนเพื่อดูการพิสูจน์ ↑



แบบฝึกหัดที่ 2 ตอนที่ 2

  1. จงพิสูจน์ว่า เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม


  2. จงพิสูจน์ว่า รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน









ที่มาข้อมูล : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ พ.ศ.2544
จำนวนคนอ่าน 81735 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved