ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

การให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (1)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า2 หน้า3

คลิก! ที่ตัวเลขข้างบนดูหน้าถัดไป >>


ประโยคเงื่อนไข

ประโยคเงื่อนไขประกอบด้วยข้อความสองข้อความที่เชื่อมด้วย ถ้า...แล้ว...

เรียกข้อความที่ตามหลัง ถ้า ว่า เหตุ และเรียกข้อความที่ตามหลัง แล้ว ว่า ผล

ข้อความที่เป็นประโยคเงื่อนไขที่เราใช้กันอยู่ บางครั้งอาจไม่ปรากฏในรูป ถ้า...แล้ว...อย่างชัดเจน เช่น "จำนวนนับที่หารด้วย 2 ลงตัว เป็นจำนวนคู่" สามารถนำมาเขียนให้อยู่ในรูปประโยค ถ้า...แล้ว...ได้เป็น "ถ้าจำนวนนับใดหารด้วย 2 ลงตัว แล้วจำนวนนับนั้นเป็นจำนวนคู่"


บทกลับของประโยคเงื่อนไข

จากประโยคเงื่อนไข
    "ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน"
ถ้าเรานำผลของประโยคเงื่อนไขนี้มาเป็นเหตุ และนำเหตุของประโยคเงื่อนไขนี้มาเป็นผลเราจะได้บทกลับของประโยคเงื่อนไขเป็นประโยคเงื่อนไขใหม่ดังนี้

    "ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่"
เราสามารถเขียนประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไขข้างต้นให้เป็นประโยคเดียวกันโดยใช้คำว่า ก็ต่อเมื่อ ดังนี้

    "รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน"
เมื่อมีประโยคที่เชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ เราสามารถเขียนประโยคนั้นเป็นประโยคเงื่อนไขสองประโยค เช่น

    "รูปสามเหลี่ยมใดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน" สามารถเขียนได้เป็น
    "ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน" และ "ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว"

การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

การให้เหตุผลทางเรขาคณิตมีความเกี่ยวข้องกับ คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท

ในคณิตศาสตร์มีคำบางคำที่ใช้เป็นพื้นฐานในการสื่อความหมายให้เข้าใจตรงกันโดยไม่ต้องกำหนดความหมายของคำ คำเหล่านี้เป็นคำอนิยาม ตัวอย่างคำอนิยามในเรขาคณิต ได้แก่ จุด เส้นตรง และระนาบ

เมื่อเริ่มต้นกล่าวถึงเนื้อหาสาระใด หลังจากกำหนดคำอนิยามแล้ว จะต้องให้ความหมายที่แน่นอนของคำต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาสาระนั้นๆ ในรูป บทนิยาม เช่น

บทนิยามของรังสี รังสี คือ ส่วนหนึ่งของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลายเพียงจุดเดียว

บทนิยามของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก และมีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน

ข้อความในบทนิยามทุกบทนิยาม สามารถเขียนให้เป็นประโยคที่เชื่อมด้วย "ก็ต่อเมื่อ" ได้เสมอ เช่น

จากบทนิยามของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสข้างต้น สามารถเขียนได้เป็น

    "รูปสี่เหลี่ยมใดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก็ต่อเมื่อ รูปสี่เหลี่ยมนั้นมีมุมทุกมุมเป็นมุมฉากและมีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน"

การให้เหตุผลในการพิสูจน์ข้อความต่างๆ ว่าเป็นจริงหรือเท็จนั้น ต้องยอมรับว่าข้อความบางข้อความเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เรียกข้อความเหล่านั้นว่า สัจพจน์ เราใช้สัจพจน์เป็นส่วนหนึ่งของการให้เหตุผล สัจพจน์ในวิชาเรขาคณิตที่นักเรียนเคยทราบและใช้มาแล้วในการให้เหตุผล เช่น

  1. มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้



  2. เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน จะตัดกันที่จุดเพียงจุดเดียวเท่านั้น



  3. สามารถต่อส่วนของเส้นตรงออกไปทั้งสองข้างได้โดยไม่จำกัดความยาว



  4. สามารถลากเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นให้ผ่านจุดจุดหนึ่งที่ไม่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดให้ และขนานกับเส้นตรงที่กำหนดให้นั้น

การพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นประโยคเงื่อนไข แบ่งเป็น 2 กรณีคือ

  1. การพิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริง


  2. การพิสูจน์ว่าข้อความไม่เป็นจริง
โดยทั่วไป การพิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริงนั้น จะต้องให้เหตุผลเพื่อแสดงว่า เมื่อเหตุเป็นจริงแล้ว เหตุนั้นทำให้ผลเป็นจริงเสมอ โดยเริ่มจากสิ่งที่กำหนดให้แล้วอาศัยบทนิยาม สัจพจน์ ข้อความที่เคยพิสูจน์ว่าเป็นจริงและสมบัติต่างๆ อย่างใดอย่างหนึ่งหรือหลายอย่างประกอบกันมาให้เหตุผล เพื่อสรุปได้ว่าผลที่ต้องการเป็นจริง

สำหรับการพิสูจน์ว่า ข้อความไม่เป็นจริงนั้นเรามีวิธีง่ายๆ คือยกตัวอย่างเช่นนี้ว่า ตัวอย่างค้าน

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน จงพิสูจน์ว่า Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
/////
กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน AC เป็นเส้นทแยงมุม
ต้องการพิสูจน์ว่า Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
พิสูจน์ เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (กำหนดให้)
จะได้ว่า AB = CB (รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน)
ดังนั้น Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว)

ตัวอย่างที่ 2 จงพิสูจน์ว่าข้อความ "ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ" ไม่เป็นจริง
/////
กำหนดให้ Δ ABC และ Δ DEF มีขนาดดังรูป
เนื่องจาก CÂB = FE, AC = DÊF และ BĈA =
ดังนั้น Δ ABC ~ Δ DEF (ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น
ดังนั้น Δ ABC ~ Δ DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน)
แต่ AB ซึ่งยาว 7 หน่วยไม่เท่ากับความยาวของด้านใดๆ ของ Δ DEF
ดังนั้น Δ ABC และ Δ DEF ไม่เท่ากันทุกประการ
นั่นคือ ข้อความ "ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
นั่นคือ ข้อความ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ" ไม่เป็นจริง

ข้อความสำคัญทางคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง และนำไปใช้ในการอ้างอิง เรียกว่า ทฤษฎีบท

ตัวอย่างทฤษฎีบทเบื้องต้นทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยทราบมาแล้ว ซึ่งจะกล่าวถึงโดยไม่พิสูจน์ เช่น

  • ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน


  • ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา
  • (ดูเพิ่มเติม : เส้นขนาน (1))

  • ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
  • (ดูเพิ่มเติม : เส้นขนาน (2))

  • ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
  • (ดูเพิ่มเติม : เส้นขนาน (3))

  • ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา
  • (ดูเพิ่มเติม : เส้นขนาน (4))

  • ทฤษฎีบท ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น
  • (ดูเพิ่มเติม : เส้นขนาน (4))

ตัวอย่างที่ 3 จงพิสูจน์ว่า ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 360 องศา
/////
กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่ง
ต้องการพิสูจน์ว่า DÂB + AC + BĈD + CA = 360 องศา
พิสูจน์ ลาก AC
เนื่องจาก CÂB + AC + BĈA = 180 องศา และ
เนื่องจาก CÂD + AC + DĈA = 180 องศา
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา)
(CÂB + AC + BĈA) + (CÂD + AC + DĈA) = 180 + 180 = 360 องศา (สมบัติของการเท่ากัน)
จะได้ (CÂB + CÂD) + AC + (BĈA + DĈA) + AC = 360 องศา
ดังนั้น DÂB + AC + BĈD + CA = 360 องศา



แบบฝึกหัดที่ 1











ที่มาข้อมูล : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ พ.ศ.2544
จำนวนคนอ่าน 47431 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved