ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 
หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

แบบฝึกหัดคณิตเพิ่มเติม : สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ชุด 7) (โจทย์ปัญหา)
 
ระดับชั้น : ม.2

แบบฝึกหัดทบทวนเรื่องสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

(ให้น้องๆ ฝึกทดสอบในกระดาษแล้วจึงตอบคำถามในช่องว่าง มีเฉลยอย่างละเอียดท้ายข้อนะคะ)


** จะเก่งคณิตศาสตร์ได้ ต้องหมั่นฝึกทำแบบฝึกหัดมากๆ และทำซ้ำหลายรอบโดยไม่ดูเฉลยก่อน **
 

1. ที่นารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแปลงหนึ่งมีความยาวโดยรอบ 94 เมตร และมีพื้นที่ 496 ตารางเมตร จงหาความกว้างและความยาวของที่นาแปลงนี้

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

2. ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองแปลง แปลงแรกมีพื้นที่ 99 ตารางเมตร และมีด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 2 เมตร ที่ดินแปลงที่สองมีด้านยาวยาวกว่าด้านยาวของที่ดินแปลงแรก 6 เมตร และด้านกว้างสั้นกว่าด้านกว้างของที่ดินแปลงแรก 2 เมตร จงหาว่าที่ดินแปลงที่สองมีพื้นที่เท่าใด

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

3. ถ้าความยาวของด้านคู่ขนานคู่หนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มขึ้น 6 เซนติเมตร และความยาวของด้านคู่ขนานกันอีกคู่หนึ่งลดลง 2 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกิดขึ้นจะมีพื้นที่เป็น เท่าของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเดิม จงหาความยาวของแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปนี้

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

4. สวนสาธารณะแห่งหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 14 เมตร ยาว 24 เมตร เมื่อทำทางเดินภายในรอบสวนให้มีความกว้างเท่ากันโดยตลอดแล้ว จะเหลือบริเวณสวนที่ไม่รวมทางเดินคิดเป็นพื้นที่ 200 ตารางเมตร จงหาความกว้างของทางเดินรอบสวนนี้

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

5. เมื่อปล่อยวัตถุให้ลงมาจากที่สูง ระยะทางที่วัตถุตกจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาที่ผ่านไป และเป็นไปตามสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกในแนวดิ่งคือ S = 4.9t2 เมื่อ S แทนระยะทางเป็นเมตร และ t แทนเวลาเป็นวินาที ถ้าพีระโยนก้อนหินก้อนหนึ่งจากหน้าผาสูง 1,960 เมตร จงหาว่าก้อนหินตกลงพื้นดินเมื่อเวลาผ่านไปกี่วินาที

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

6. กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่งมีพื้นที่ก้นกล่อง 120 ตารางเซนติเมตร ความยาวรอบปากกล่องภายในเป็น 46 เซนติเมตร จุน้ำได้ 720 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาขนาดภายในของกล่องใบนี้

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

7. กระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 4 เซนติเมตร เมื่อตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ 4 เซนติเมตร ออกจากมุมทั้งสี่ของแผ่นกระดาษ แล้วยกด้านที่เหลือประกอบเป็นรูปกล่องไม่มีฝา จะได้กล่องที่มีปริมาตร 884 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาความยาวและความกว้างของกระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าก่อนตัด
     คำตอบ 
 

8. ต้องการสร้างบ้านทรงไทย ซึ่งมีส่วนของหลังคาที่มองเห็นจากหน้าบ้านเป็นหน้าบันรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐานยาว 8 เมตร ถ้าสมนึกบอกให้ช่างไม้ทำหน้าบันสูง 3 เมตร ช่างไม้จะต้องหาไม้มาประกอบเป็นโครงภายในหลังคาบ้านซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่แต่ละด้านยาวกี่เมตร

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

9. จากจุดเริ่มต้นเดียวกัน รถยนต์ A วิ่งไปทางทิศตะวันออก ในขณะที่รถยนต์ B วิ่งไปทางทิศเหนือด้วยอัตราเร็วที่มากกว่าอัตราเร็วของรถยนต์ A 15 กิโลเมตรต่อชั่วโมง หลังจากที่รถทั้งสองวิ่งไปได้ 1 ชั่วโมง 20 นาที รถทั้งสองคันอยู่ห่างกัน 100 กิโลเมตร จงหาอัตราเร็วของรถยนต์ทั้งสองคัน

(อ้างอิง : หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ปี พ.ศ.2544 กระทรวงศึกษาธิการ)
     คำตอบ 
 

10.
หน้า2 หน้า3 หน้า4 หน้า5

การศึกษาเกี่ยวกับภาคตัดกรวยนั้นเริ่มต้นมานานแล้ว โดย อะพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga) ผู้ที่มีชีวิตอยู่ในช่วง 262 - 190 ปีก่อนคริสต์ศักราช เป็นผู้หนึ่งที่ศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติบางประการที่น่าสนใจของภาคตัดกรวย เขาเขียนตำราเกี่ยวกับภาคตัดกรวยไว้ถึง 8 เล่มด้วยกัน ต่อมาภายหลัง พบว่าภาคตัดกรวยไม่เพียงแต่เป็นเส้นโค้งที่สวยงามแต่นำไปใช้ประโยชน์ได้หลายด้าน

ในปี ค.ศ.1590 กาลิเลโอ พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่เป็นพาราโบลา

ในปี ค.ศ.1609 เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี

ในปี ค.ศ.1668 นิวตัน เป็นบุคคลแรกที่ประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ชนิดสะท้อนแสงโดยอาศัยหลักการที่มีพื้นฐานจากสมบัติของพาราโบลาและไฮเพอร์โบลา ในปัจจุบันมีการศึกษาเกี่ยวกับการนำสมบัติของภาคตัดกรวยไปใช้ประโยชน์ในด้านต่างๆ เพิ่มเติมตลอดเวลา เช่น ใช้จานทรงพาราโบลา (รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตรของพาราโบลา) เป็นอุปกรณ์เก็บรวบรวมสัญญาณ เช่น จานรับส่งสัญญาณในระบบโทรคมนาคม หรือใช้เป็นอุปกรณ์เก็บพลังงานจากดวงอาทิตย์ หรือใช้เป็นอุปกรณ์สำหรับสะท้อนแสง เช่น โคมไฟ การหาตำแหน่งของเรือในทะเลโดยใช้จุดตัดของไฮเพอร์โบลา การทำงานของอุปกรณ์ที่ใช้สลายก้อนนิ่วในไตใช้สมบัติการสะท้อนของวงรี

การศึกษาภาคตัดกรวยสามารถศึกษาได้หลายแนวทาง ในที่นี้จะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์

รูปที่ 1
กรวยเป็นรูปเรขาคณิตที่มีวิธีการสร้างในเชิงคณิตศาสตร์ ดังนี้

ให้ a และ b เป็นเส้นตรงใดๆ สองเส้นตัดกันที่จุด V เป็นมุมแหลม ให้เส้นตรง a และจุด V ตรึงอยู่กับที่ ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดยมุม ระหว่างเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกว่า กรวยกลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้นและจะเรียกสั้นๆ ว่า กรวย เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า แกน (axis) ของกรวย จุด V เรียกว่า จุดยอด (vertex)

เส้นตรง b ที่ผ่านจุด V ทำมุม กับแกนของกรวย เรียกว่า ตัวก่อกำเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V แบ่งกรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึ่งอยู่คนละด้านของจุดยอด

ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษากันเกิดจากระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่ 2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม (circle)

เมื่อระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวยแต่ทำมุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่กว่า ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียวได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงรี (ellipse)

เมื่อระนาบขนานกับตัวก่อกำเนิดของกรวยระนาบจะตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า พาราโบลา (parabola)

และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา (hyperbola)

รูปที่ 2


ถ้าระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเป็นจุด หรือเส้นตรงหนึ่งเส้น หรือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ซึ่งเรียกลักษณะดังกล่าวว่า ภาคตัดกรวยลดรูป (degenerate conics) ดังแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3


ในการศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ มีประเด็นหลักที่จะศึกษา 2 ประเด็น คือ

  1. หาสมการของภาคตัดกรวยแต่ละชนิด


  2. จำแนกหรือระบุว่ากราฟของสมการเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด แล้วเขียนกราฟของสมการเมื่อกำหนดสมการรูปแบบทั่วไปของภาคตัดกรวย



จะศึกษาวงกลมโดยเริ่มจากการหาสมการของวงกลม


รูปที่ 1 แสดงวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(h, k) และรัศมียาว r หน่วย จะหาสมการที่มีกราฟเป็นวงกลมรูปนี้ได้โดย สมมติว่า P(x, y) เป็นจุดใดๆ บนวงกลม เนื่องจากระยะทางระหว่าง P(x, y) และ C(h, k) เท่ากับ r หน่วย

นั่นคือ PC = r ดังนั้น จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด จะได้









ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของสมการ (x + 2)2 + (y - 3)2 = 16

วิธีทำ กราฟของสมการที่กำหนดให้เป็นวงกลม ในการเขียนกราฟ จะต้องทราบตำแหน่งของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของ
วงกลม ซึ่งหาได้โดยการเทียบสมการที่กำหนดให้กับรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม
จะพบว่า h = -2, k = 3 และ r - 4
ดังนั้น วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-2, 3) และรัศมียาว 4 หน่วย
การเขียนวงกลมขั้นแรก ลงจุดศูนย์กลางที่จุด (-2, 3) และเนื่องจากรัศมีของวงกลมยาว 4 หน่วย ลงจุดอีก 4 จุดห่างไปจาก
จุดศูนย์กลางไปทางด้านซ้าย ทางด้านขวา ทางด้านล่าง และทางด้านบน 4 หน่วย แล้ววาดวงกลมผ่านจุด 4 จุดนี้จะได้วงกลม
ดังแสดงในรูปที่ 2 ก




ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หน่วย และจุดศูนย์กลาง อยู่ที่ (2, -1)

วิธีทำ จากรูปแบบมาตรฐานของวงกลม
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
แทน r, h และ k ด้วย 3, 2 และ -1 ตามลำดับ
(x - 2)2 + (y - (-1))2 = 32
(x - 2)2 + (y + 1)2 = 9




รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) คือ x2 + y2 = r2

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมียาว 1 หน่วย เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) และมีสมการเป็น

x2 + y2 = 1

ดังแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3

จากสมการของวงกลมในตัวอย่างที่ 2

(x - 2)2 + (y + 1)2 = 9

เมื่อหาผลการยกกำลังสองของ x - 2 และ y + 1 จะได้

x2 - 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 9

หรือ

x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0

ซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของสมการ x2 + y2 + ax + by + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว

สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการในรูปแบบ x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีกราฟเป็นวงกลม หรือจุดหนึ่งจุด หรือไม่มีกราฟ

ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x2 + y2 = 0 คือจุดหนึ่งจุดคือ จุด (0, 0)
สมการ x2 + y2 + 5 = 0 หรือ x2 + y2 = -5 ไม่มีกราฟ เพราะว่าผลบวกของกำลังสองของจำนวนจริงเป็นจำนวนลบไม่ได้

ในกรณีที่สมการ x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีกราฟเป็นวงกลม

เรียกสมการนี้ว่า รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม

ถ้าสมการของวงกลมอยู่ในรูปแบบทั่วไป สามารถเขียนสมการใหม่ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์




ตัวอย่างที่ 3 จงแสดงว่า สมการ x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0 เป็นสมการของวงกลม แล้วหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม พร้อมทั้งเขียนกราฟ

วิธีทำ ขั้นแรก เขียนสมการที่กำหนดให้ในรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม โดยจัดกลุ่มของพจน์ที่มี ตัวแปร x และตัวแปร y
แล้วทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ กล่าวคือ ทำให้ x2 + 2x เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยการบวกด้วย ( • 2)2 = 1 และทำให้
y2 - 6y เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยการบวกด้วย ( (-6))2 = 9
(x2 + 2x) + (y2 - 6y) = -6
(x2 + 2x + 1) + (y2 - 6y + 9) = -6 + 1 + 9
(x + 1)2 + (y - 3)2 = 4
เปรียบเทียบสมการนี้กับรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมจะได้ว่า h = -1, k = 3 และ r = 2
ดังนั้น สมการที่กำหนดให้เป็นสมการของวงกลมที่มี (-1, 3) เป็นจุดศูนย์กลาง และรัศมียาว 2 หน่วย
กราฟเป็นวงกลมแสดงในรูปที่ 4




ตัวอย่างที่ 4 จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม x2 + y2 = 13 ที่จุด (2, 3)

วิธีทำ
ความชันของรัศมีที่ผ่านจุด (2, 3) คือ m =
เส้นสัมผัสของวงกลมที่ผ่านจุด (2, 3) เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมเส้นที่มีความชัน
ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสคือ
และสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมที่จุด (2, 3) คือ






  1. จงหาสมการของวงกลมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

    (1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 5) และรัศมียาว 5 หน่วย


    (2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และ ผ่านจุด (7, 4)


    (3) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1, 5) และ ผ่านจุด (-4, -6)


  2. จงแสดงว่าสมการต่อไปนี้เป็นสมการของวงกลม แล้วหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม

    (1) x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0


    (2) x2 + y2 + 10x - 4y + 13 = 0



     คำตอบ 
 
 
           
 
 
 
 
ที่มาข้อมูล : www.myfirstbrain.com
จำนวนคนอ่าน 31288 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved