ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

การแปรผัน (2)
 
ระดับชั้น : ม.2

หน้า1 หน้า3

การแปรผกผัน

ให้น้องๆ พิจารณาตารางแสดงแบบรูปของความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใช้ในการเดินทางของรถยนต์คันหนึ่ง ซึ่งวิ่งเป็นระยะทาง 240 กิโลเมตร

ให้
y
แทน
อัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนต์เป็นกิโลเมตรต่อชั่วโมง
t
แทน
เวลาที่ใช้ในการเดินทางเป็นชั่วโมงในระยะทาง 240 กิโลเมตร


จากตารางจะเห็นว่า เมื่ออัตราเร็วเฉลี่ย v ของรถยนต์เพิ่มขึ้น เวลา t ที่ใช้ในการเดินทางจะลดลงในอัตราที่ไม่คงตัว เมื่อพิจารณา จะพบว่าค่า สำหรับ v และ t แต่ละคู่ที่หาได้ไม่เท่ากัน ดังนั้น t ไม่แปรผันตรงกับ v แต่เมื่อพิจารณาค่า v × t จากตาราง จะเห็นว่า v × t เป็นค่าคงตัวเท่ากับ 240 สำหรับทุกคู่ของ v และ t

นั่นคือ ความสัมพันธ์ระหว่าง v และ t เขียนแสดงได้ด้วยสมการ vt = 240 หรือ t = 240 ×

เนื่องจากเราสามารถหาเวลาที่ใช้ในการเดินทางได้เสมอ ไม่ว่าอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนต์จะเป็นเท่าใดก็ตามที่มากกว่าศูนย์ จึงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาที่ใช้ในการเดินทางกับอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนต์ โดยให้แกนนอนแสดงค่า v และแกนตั้งแสดงค่า t ได้ดังรูป


ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเฉลี่ยของรถยนต์และเวลาที่ใช้ในการเดินทางดังกล่าวนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการแปผกผัน


สมการ y = k × โดยที่ k เป็นค่าคงตัว และ k ≠ 0 เรียกว่า สมการแสดงการแปรผันของการแปรผกผัน เรียก k ว่า ค่าคงตัวของการแปรผัน และเขียนแทน y แปรผกผันกับ x ด้วย yα

จากความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใช้ในการเดินทาง ซึ่งแสดงด้วยสมการ vt = 240 หรือ t = 240 × ข้างต้น จะได้ว่า t แปรผกผันกับ v โดยมีสมการแสดงการแปรผันเป็น t = 240 × และมีค่าคงตัวของการแปรผันเป็น 240

ให้น้องๆ พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ x และปริมาณ y ที่เป็นแบบรูปดังตาราง ต่อไปนี้


จากตารางจะเห็นว่า ไม่เป็นค่าคงตัวเดียวกัน สำหรับทุกคู่ของ x และ y ดังนั้น y ไม่แปรผันตรงกับ x

เมื่อพิจารณาค่า x × y จากตาราง จะเห็นว่า x × y เป็นค่าคงตัวเท่ากับ -12 สำหรับทุกคู่ของ x และ y

นั่นคือ ความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y เขียนแสดงได้ด้วยสมการ xy = -12 หรือ y = -12 ×

ดังนั้น y แปรผกผันกับ x โดยมีสมการแสดงการแปรผันเป็น y = -12 × และมีค่าคงตัวของการแปรผันเป็น -12

เมื่อนำปริมาณทั้งสองมาเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y จะมีลักษณะดังรูป


จากบทนิยามของการแปรผกผัน เราทราบว่า ค่าคงตัวของการแปรผันต้องไม่เท่ากับศูนย์ จากตัวอย่างแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณข้างต้น จะเห็นว่า ค่าคงตัวของการแปรผันอาจเป็นจำนวนจริงบวกหรือจำนวนจริงลบก็ได้ กราฟแสดงความสัมพันธ์ที่เป็นการแปรผกผัน จะไม่ผ่านจุด (0, 0) ไม่เป็นส่วนของเส้นตรง ไม่เป็นรังสีและไม่เป็นเส้นตรง

เนื่องจาก yα เมื่อ y = k × , k ≠ 0 และ y = k × , k ≠ 0 สามารถเขียนได้เป็น xy = k, k ≠ 0

ดังนั้นอาจกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า yα เมื่อ xy เป็นค่าคงตัวเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ สำหรับทุกคู่ของ x และ y

ฉะนั้นในการพิจารณาว่า ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ x และปริมาณ y ที่กำหนดให้มีความสัมพันธ์กันแบบการแปรผกผันหรือไม่ เราอาจพิจารณาว่าผลคูณของปริมาณทั้งสองนั้นเป็นค่าคงตัวตัวเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ สำหรับทุกคู่ของ x และ y หรือไม่ ถ้าเป็นค่าคงตัวตัวเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้วความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณนั้นก็เป็นการแปรผกผัน ที่มีค่าคงตัวดังกล่าวเป็นค่าคงตัวของการแปรผัน แต่ถ้ามี x และ y บางคู่ที่ทำให้ผลคูณต่างจากผลคูณของ x และ y คู่อื่นๆ แล้วความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณนั้นก็ไม่เป็นการแปรผกผัน

นอกจากจะมี y แปรผกผันกับ x ตามที่กล่าวมาแล้วข้างต้น y ยังอาจแปรผกผันกับปริมาณอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับ x เช่น y แปรผกผันกับ x2 และ y แปรผกผันกับ

ในการทดลองหาความสัมพันธ์ระหว่างระยะ d เป็นเมตรที่ผู้ฟังอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดเสียงและความเข้มเสียง I เป็นวัตต์ต่อตารางเมตร เมื่อกำหนดให้กำลังเสียงจากแหล่งกำเนิดเสียงมีค่าคงตัว ปรากฏผลการทดลองเป็นแบบรูปดังตารางต่อไปนี้

d (เมตร)
1
2
3
4
5
I (วัตต์ต่อตารางเมตร)
0.80
0.20
0.09
0.05
0.032


จากตารางจะเห็นว่า เมื่อระยะที่ผู้ฟังอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดเสียง d เพิ่มขึ้น ความเข้มเสียง I จะลดลง และ เป็นจำนวนจริงบวกสำหรับทุกคู่ของ d และ I จึงคาดการณ์ได้ว่า I น่าจะแปรผกผันกับ d จึงลองหาผลคูณระหว่าง d กับ I ได้ดังตาราง

d (เมตร)
1
2
3
4
5
I (วัตต์ต่อตารางเมตร)
0.80
0.20
0.09
0.05
0.032
dI
0.80
0.40
0.27
0.20
0.16

จะเห็นว่า dI ไม่เป็นค่าคงตัวตัวเดียวกัน สำหรับทุกคู่ของ d และ I ดังนั้น I ไม่แปรผกผันกับ d

เมื่อลองหาผลคูณระหว่าง d2 กับ I จะได้ดังตาราง

d (เมตร)
1
2
3
4
5
I (วัตต์ต่อตารางเมตร)
0.80
0.20
0.09
0.05
0.032
d2
1
4
9
16
25
d2I
0.80
0.80
0.81
0.80
0.80

จากตารางจะเห็นว่า d2I เป็นค่าคงตัวประมาณ 0.8 สำหรับทุกคู่ของ d2 และ I ดังนั้น I แปรผกผันกับ d2 โดยมีค่าคงตัวของการแปรผันเป็น 0.8 และสมการแสดงการแปรผกผันเป็น I = 0.8 ×

หมายเหตุ การแปรผกผันในรูป yα มีความสำคัญมากในวิชาวิทยาศาสตร์ และปริมาณสองปริมาณที่มีความเกี่ยวข้องกันเช่นนี้ เราเรียกว่า มีความเกี่ยวข้องกันตามกฎกำลังสองผกผัน




แบบฝึกหัด


1. จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผันโดยใช้สัญลักษณ์ที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ

    1) ความสูง (h) ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แปรผกผันกับความยาวฐาน (b) โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ 130



    2) พื้นที่ฐาน (A) ของทรงกระบอก แปรผกผันกับความสูง (h) โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ 165



    3) ปริมาณกระแสไฟฟ้า (I) แปรผกผันกับความต้านทาน (R) ของก๊าซ โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ 240


2. สมการต่อไปนี้แสดงการแปรผกผัน จงบอกว่าปริมาณใดแปรผกผันกับปริมาณใด พร้อมทั้งบอกค่าคงตัวของการแปรผันนั้น

3. ความถี่ F (กิโลเฮิรตซ์) ของคลื่นวิทยุแปรผกผันกับความยาวคลื่น L (เมตร) และ F = 375 เมื่อ L = 800 จงหา

    1) สมการแสดงความเกี่ยวข้องระหว่าง F กับ L



    2) ความยาวคลื่นของวิทยุเมื่อมีความถี่ 200 กิโลเฮิรตซ์



    3) ความถี่ของคลื่นวิทยุ ถ้าความยาวคลื่นเป็น 464 เมตร (ตอบเป็นจำนวนเต็มหน่วย)






ที่มาข้อมูล : สสวท กระทรวงศึกษาธิการ 2544 หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2
จำนวนคนอ่าน 27743 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved