ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

พื้นที่ผิวและปริมาตร (5)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า 1 หน้า 2 link 3 หน้า 4

น้องๆ เคยสังเกตหรือไม่ว่า วัตถุบางชนิดเมื่อหย่อนลงในน้ำจะจมและบางชนิดจะลอยน้ำ การลอยน้ำของวัตถุแต่ละชนิดก็แตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าวัตถุนั้นทำด้วยสารชนิดใด สารสองชนิดที่มีปริมาตรเท่ากันเมื่อหย่อนลงในน้ำ ส่วนที่จมอยู่ในน้ำก็ไม่เท่ากัน เช่น ไม้กับโฟมที่มีปริมาตรเท่ากัน ไม้บางชนิดจะมีส่วนที่อยู่เหนือน้ำเพียงเล็กน้อย แต่โฟมจะมีส่วนที่อยู่เหนือน้ำมากกว่า ทั้งนี้ เพราะไม้มีความหนาแน่นมากกว่าความหนาแน่นของโฟม แต่สารทั้งสองชนิดนี้มีความหนาแน่นน้อยกว่าความหนาแน่นของน้ำ จึงลอยได้



แต่ถ้าสารนั้นมีความหนาแน่นมากกว่าความหนาแน่นของน้ำ สารนั้นก็จะจมน้ำ เช่น แท่งเหล็ก


ความหนาแน่นของสารมีความสัมพันธ์กับมวลสารและปริมาตร ดังนี้


โดยทั่วไปนิยมใช้วัดมวลของสารเป็นกิโลกรัม และใช่หน่วยวัดปริมาตรของสารเป็นลูกบาศก์เมตร ซึ่งจะได้หน่วยวัดความหนาแน่นของสารเป็นกิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร ในทางปฏิบัติเราวัดมวลของสารที่กำหนดให้โดยการชั่งน้ำหนักสารนั้นว่าหนักเป็นกี่กิโลกรัม

ตารางต่อไปนี้แสดงความหนาแน่นของสารบางชนิดที่อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสและความดัน 1 บรรยากาศ



โดยปกติถ้าวัตถุมีลักษณะเป็นปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวยและทรงกลม ก็สามารถใช้สูตรมาคำนวณหาปริมาตรได้ง่าย แต่ถ้าไม่สามารถหาปริมาตรของวัตถุนั้นได้โดยง่าย และวัตถุไม่ละลายน้ำ ก็ใช้การแทนที่น้ำตามหลักวิทยาศาสตร์ กล่าวคือ เมื่อนำวัตถุใส่ในอ่างน้ำที่มีน้ำเต็มอ่าง และหย่อนวัตถุนั้นให้จมในอ่าง ปริมาตรของน้ำที่ล้นออกมาจะเท่ากับปริมาตรของวัตถุที่ลงไปแทนที่น้ำ หรือในกรณีที่มีบางส่วนของวัตถุจมอยู่ในน้ำปริมาตรของน้ำที่ล้นออกมาก็เท่ากับปริมาตรส่วนที่จมอยู่ในน้ำของวัตถุนั้น

ในกรณีที่วัตถุละลายน้ำ ก็ใช้การแทนที่สารละลายอื่นๆ ที่ไม่มีปฏิกิริยากับวัตถุนั้นและใช้หลักการเดียวกันกับการแทนที่น้ำ

จากความสัมพันธ์ข้างต้น เราสามรถนำมาใช้แก้ปัญหาได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง โลหะชนิดหนึ่งหนัก 3.9 กิโลกรัม เมื่อหย่อนโลหะจมลงในอ่างน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งกว้าง 20 เซนติเมตร ยาว 25 เซนติเมตร ทำให้ระดับน้ำในอ่างสูงขึ้นกว่าเดิม 1 เซนติเมตร จงหาว่าโลหะชนิดนี้เป็นโลหะชนิดใด


ให้น้องๆ ใช้ข้อมูลในตารางข้างต้นหาคำตอบในแบบฝึกหัดต่อไปนี้

  1. แท่งแก้วอันหนึ่งหนัก 1.8 กิโลกรัม ถ้าแก้วมีความหนาแน่น 2.5 x 103 กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร แท่งแก้วนี้จะมีปริมาตรเท่าไร






  2. แท่งไม้ทรงลูกบาศก์หนัก 18.9 กิโลกรัม ถ้ามีความหนาแน่น 0.7 x 103 กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร ไม้แท่งนี้มีด้านยาวด้านละกี่เซนติเมตร






  3. ลูกบอลบรรจุแก๊สฮีเลียม 400 ลูกบาศก์เมตร จงหาว่า แก๊สที่บรรจุลงไปหนักกี่กิโลกรัม







ถ้าน้องๆ สังเกตสิ่งก่อสร้าง วัสดุประดิษฐ์ หรือเครื่องใช้สอยต่างๆ อาจพบว่า หลายสิ่งมีลักษณะเป็นพีระมิดยอดตัด ซึ่งมีลักษณะ ดังรูป

พีระมิดยอดตัด


พีระมิดยอดตัดอาจได้จากการนำระนาบไปตัดพีระมิดในแนวขนานกับฐานของพีระมิด วิธีหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถทำได้โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนและสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้าย ดังตัวอย่าง



จากรูป กำหนดให้พีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูง 10 หน่วย ฐานของพีระมิดยอดตัดยาวด้านละ 24 หน่วย และหน้าตัดมีด้านยาวด้านละ 16 หน่วย จงหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดนี้

แนวคิด

การคำนวณหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดดังรูป ก อาจทำได้โดยพิจารณารูปนี้ให้เป็นส่วนหนึ่งของพีระมิดก่อนตัดยอด ดังรูป ข แล้วหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิดก่อนตัดยอดและปริมาตรของพีระมิดส่วนที่ถูกตัดออกไป ดังรูป ค ดังนี้



วิธีทำ

ใช้ระนาบพีระมิดรูป ข ในแนวตั้งฉากกับฐานผ่านจุดยอดของพีระมิดจะได้ Δ ABC เป็นหน้าตัดบนระนาบและเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังรูป



เนื่องจาก หน้าตัดของพีระมิดยอดตัดขนานกับฐาน






โดยทั่วไป เมื่อกำหนดพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้ฐานมีความยาวด้านละ a หน่วย หน้าตัดมีความยาวด้านละ b หน่วย และสูง h หน่วย ตามวิธีการดังตัวอย่างข้างต้นสามารถเขียนเป็นสูตรการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ ดังนี้




แบบฝึกหัด

  1. ถ้าใช้ระนาบตัดพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสอันหนึ่งในแนวขนานกับฐาน โดยตัดปลายยอดออกครึ่งหนึ่งของความสูงของพีระมิด อัตราส่วนของปริมาตรของพีระมิดส่วนยอดที่ตัดออกไปต่อปริมาตรของพีระมิดยอดตัด จะเท่ากับอัตราส่วนใด






  2. พีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสอันหนึ่งสูง 12 เซนติเมตร ฐานมีความยาวด้านละ 20 เซนติเมตร หน้าตัดมีความยาวด้านละ 15 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดนี้






  3. กระถางปลูกต้นไม้มีลักษณะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยอดตัดส่วนฐานล่างยาวด้านละ 20 นิ้ว ส่วนบนปากกระถางยาวด้านละ 30 นิ้ว กระถางสูง 12 นิ้ว กระถางใบนี้จุดินได้เต็มพอดีกี่ลูกบาศก์นิ้ว








click ดู แบบฝึกหัดคณิตเพิ่มเติม : พื้นที่ผิวและปริมาตร (ชุด 5) (การนำไปใช้)

ที่มาข้อมูล : สสวท.กระทรวงศึกษาธิการ หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 2544.
สสวท.กระทรวงศึกษาธิการ คู่มือครูสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 2544.
จำนวนคนอ่าน 18346 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved