ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
   

พาราโบลา (5)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า 1 หน้า 2 หน้า 3 หน้า 4


การเขียนพาราโบลาที่ผ่านมาแล้วได้จากการพิจารณาสมการที่อยู่ในรูป y = a(x - h)2 + k แต่สมการของพาราโบลาที่พบอาจจะอยู่ในรูป y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a ≠ 0 ในการเขียนกราฟเราจึงนิยมเขียนสมการ y = ax2 + bx + c ให้อยู่ในรูป y = a(x - h)2 + k วิธีนี้เป็นการทำบางส่วนของสมการให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งน้องๆ ได้เคยศึกษามาแล้ว



*****



*****

จงพิจารณาสมการ y = 2x2 + 5x - 2 แล้วตอบคำถามต่อไปนี้ โดยไม่ต้องเขียนกราฟ



◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊




เมื่อหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตร จะได้สิ่งที่มีลักษณะคล้ายจาน เรียกว่า ผิวเชิงพาราโบลา (Parabolic Surface) หรือในที่นี้จะเรียกง่ายๆ ว่า จานพาราโบลา

จานพาราโบลามี โฟกัส (Focus) ที่มีสมบัติว่า ถ้าแหล่งกำเนิดของแสง หรือเสียงอยู่ที่จุดนี้ แล้วคลื่นของแสงหรือเสียงจะสะท้อนที่ตัวจานพาราโบลาเป็นเส้นที่ขนานกัน ดังนั้นจึงใช้จานพาราโบลาสะท้อนแสงของไฟฉาย แสงของโคมไฟรถยนต์ และเสียงในลำโพง

สำหรับคลื่นวิทยุก็เช่นเดียวกับคลื่นของแสงหรือเสียง จานเสาอากาศที่มีลักษณะเป็นจานพาราโบลาใช้กับการรับส่งสัญญาณจากดาวเทียมสัญญาณโทรศัพท์และสัญญาณเรดาร์ นอกจากการส่งคลื่นวิทยุแล้ว ในการรับคลื่นวิทยุ เมื่อคลื่นวิทยุมากระทบกับจานพาราโบลาก็จะสะท้อนไปรวมกันที่โฟกัสซึ่งมีอุปกรณ์รับสัญญาณส่งต่อไปยังเครื่องรับ


น้องๆ คิดว่าถ้าเราสร้างเตาพลังงานแสงอาทิตย์ที่จานรับแสงอาทิตย์สร้างจากกระจกเงาเล็กๆ มาประกอบกันจนมีลักษณะเป็นจานพาราโบลา เราควรวางอุปกรณ์รับความร้อนไว้ตรงจุดใดจึงจะรับความร้อนได้ตรงจุดที่สุด

ตอบ เราควรวางอุปกรณ์รับความร้อนไว้ที่จุดโฟกัสเช่นเดียวกับคลื่นวิทยุหรือคลื่นของแสงหรือเสียง


◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊



ชมรมเกษตรกรรมของโรงเรียนมีโครงการปลูกผักปลอดสารพิษ ดำและแดงได้รับมอบหมายให้ปลูกผักปลอดสารพิษในพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวรอบรูป 24 เมตร ดำและแดงอยากได้เนื้อที่ปลูกผักมากๆ จึงช่วยกันคิดหาวิธีกำหนดขอบเขตของแปลงผัก ครั้งแรกเขาทั้งสองลองกำหนดขนาดของแปลงผักโดยสร้างตารางให้ด้านด้านหนึ่งเป็นจำนวนนับที่มีค่าต่างๆ แล้วหาความยาวของอีกด้านหนึ่งตามไปด้วย พร้อมทั้งคำนวณหาพื้นที่ ดังตารางต่อไปนี้



จากตารางข้างต้น ทั้งสองคนพบว่า เมื่อรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีแต่ละด้านยาว 6 เมตร จะได้พื้นที่มากที่สุดเป็น 36 ตารางเมตร ดำและแดงจึงสรุปว่าจะต้องปลูกผักในแปลงที่มีขนาด 6 x 6 ตารางเมตร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด

น้องๆ จะพบว่า การหาคำตอบโดยใช้ตารางช่วงดังข้างต้น อาจเป็นเรื่องยุ่งยาก ถ้าหากมีการกำหนดความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นจำนวนอื่นๆ ที่ไม่ใช่จำนวนนับ เช่น 27.5 หรือจำนวนนับที่มีค่ามาก เช่น 168 ในทางคณิตศาสตร์มีวิธีหาคำตอบของปัญหาข้างต้นได้อีก วิธีหนึ่งโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับพาราโบลานั่นเอง








"น้องๆ ได้ศึกษาวิธีการเขียนกราฟพาราโบลา แล้วหาจุดต่ำสุด หรือสูงสุดตลอดจนแกนที่สมมาตรมาแล้ว ด้วยการเขียนกราฟ ทำให้เราเห็นภาพ แล้วตอบคำถามได้ ในที่นี้ อยากแนะนำให้น้องๆ ได้ใช้สูตรลัดในการหาจุดยอด (จุดสูงสุดหรือต่ำสุด) และแกนสมมาตรจากสมการพาราโบลา โดยไม่ต้องเขียนกราฟ เพื่อความรวดเร็วในการสอบคำนวณ แข่งขันที่ต้องใช้เวลาอันสั้น แล้วดูค่าต่างๆ จากสมการได้ มีหลักง่ายๆ ดังนี้

    จากสมการพาราโบลา y = ax2 + bx + c

เราสามารถหาจุดสูงสุด หรือจุดต่ำสุดของสมการของกราฟได้ โดยพิจารณา ดังนี้

    กรณีที่ 1 ถ้า a > 0

    เราจะได้กราฟพาราโบลารูปหงาย ทำให้ได้จุดต่ำสุด และค่าต่ำสุดของสมการ

    กรณีที่ 2 ถ้า a < 0

    เราจะได้กราฟพาราโบลารูปคว่ำ ทำให้ได้จุดสูงสุด และค่าสูงสุดของสมการ

ทั้งสองกรณีสามารถใช้สูตร แทนค่าได้ คือ






การหาจุดตัดแกน x, y ของสมการพาราโบลา


  • จุดตัดแกน x ของกราฟพาราโบลา แสดงว่า ค่า y = 0

    จะได้ จุดตัดแกน x คือ จุด (x, 0)


  • จุดตัดแกน y ของกราฟพาราโบลา แสดงว่า ค่า x = 0

    จะได้ จุดตัดแกน y คือ จุด (0, y)






click ดู แบบฝึกหัดคณิตเพิ่มเติม : พาราโบลา (ชุด 7) (พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0)

ที่มาข้อมูล : สสวท.กระทรวงศึกษาธิการ หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 2544.
จำนวนคนอ่าน 70570 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved