การประยุกต์ 1 (3)


ระดับชั้น : ม.1




น้องๆ ได้ศึกษาเรื่องจำนวนนับ และสมบัติเบื้องต้นของจำนวนนับบ้างแล้ว แต่ยังมีสมบัติจำนวนนับอีกประการหนึ่งที่ควรรู้จัก เพื่อให้เข้าใจในเรื่องจำนวนนับมากขึ้น

จำนวนนับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … จำนวนนับ อาจเรียกว่า "จำนวนเต็มบวก" ก็ได้

จากนั้นเรามาดูกิจกรรมต่อไปนี้


จะเห็นว่าผลคูณเพิ่มขึ้นครั้งละ 2 เท่าๆ กัน ในทำนองเดียวกันสูตรคูณแม่อื่นๆ เช่น แม่ 5 แม่ 2 ไปเรื่อยๆ จนถึงแม่ 12 จะมีการเพิ่มขึ้นครั้งละ 3, 4, 5, …, 12 เท่าๆ กันตามลำดับ ดังนั้น ถ้าน้องๆ ท่องสูตรคูณแม่ใดไม่ได้ น้องๆ ก็อาจจะใช้ข้อสังเกตนี้หาผลคูณที่ต้องการได้ โดยบวกจำนวนที่เป็นตัวแม่ซ้ำกันต่อไปเรื่อยๆ

การท่องสูตรคูณได้อย่างคล่องแคล่ว เป็นสิ่งสำคัญมาก เพราะจะเอื้อต่อการคูณและการหารได้อย่างรวดเร็ว

สูตรคูณแต่ละแม่จะมีแบบรูปที่น่าสนใจบางอย่าง ดังนี้


ทดสอบความเข้าใจ : จากตารางสูตรคูณจงตอบคำถามต่อไปนี้


ตัวอย่างข้างล่างนี้ เป็นการลากเส้นตรงโยงตำแหน่งเลขโดดบนวงกลม เขียนลูกศรแสดงการเรียงลำดับเลขโดดในหลักหน่วยของผลคูณในสูตรคูณแม่ 6 ดังนี้


ทดสอบความเข้าใจ : ให้น้องๆ ลากส่วนของเส้นตรงโยงตำแหน่งเลขโดดบนวงกลม แล้วเขียนลูกศรแสดงการเรียงลำดับเลขโดดในหลักหน่วยของผลคูณในสูตรคูณแม่ต่างๆ ดังต่อไปนี้




จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนนับที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง

เอราทอสเทนีส แห่งไซรีนี (Eratosthenes of Cyrene) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกซึ่งมีชีวิตอยู่ประมาณ 276-194 ปีก่อนคริสต์ศักราช ได้คิดค้นวิธีหาจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 กับจำนวนนับที่กำหนดให้โดยตัดจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทิ้ง วิธีการนี้เรียกว่า ตะแกรงของเอราทอสเทนีส

จากตัวอย่าง ข้างล่างให้น้องๆ ลองศึกษาวิธีหาจำนวนเฉพาะระหว่าง 1-40 โดยใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีส ด้วยการเขียนจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 40 แล้วทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ (click)


จากขั้นตอนในตัวอย่างนี้ สรุปได้ว่า
ทดสอบความเข้าใจ : จงใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีสหาจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง 84 ให้ถูกต้อง ตามขั้นตอนในตัวอย่างข้างต้น


ดังนั้น จำนวนเฉพาะระหว่าง 1ถึง 84 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 และ 83

ถ้าน้องๆ สงสัยว่า 59 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ก็ลองตรวจสอบดูว่า จำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 59 มีจำนวนใดบ้างที่หาร 59 ลงตัว ถ้ามีเพียง 1 และ 59 เท่านั้น ก็แสดงว่า 59 เป็นจำนวนเฉพาะ

แต่ถ้าใช้วิธีการตรวจสอบแบบนี้อาจเสียเวลามาก น้องๆ อาจนำแนวคิดทางคณิตศาสตร์เดียวกันกับที่ใช้ในตะแกรงของเอราทอสเทนีส มาเป็นวิธีตรวจสอบ ว่าจำนวนนับใดเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ดังนี้

    ให้ n แทนจำนวนนับที่ต้องการตรวจสอบ

    ขั้นที่ 1 หาจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เมื่อคูณตัวเองแล้ว ผลคูณที่ได้ไม่เกิน n

    ขั้นที่ 2 นำจำนวนเฉพาะที่ได้ในขั้นที่ 1 ไปหาร n เพื่อดูว่าหารลงตัวหรือไม่
ถ้าไม่มีจำนวนเฉพาะจำนวนใดที่ได้ในขั้นที่ 1 หาร n ลงตัว จะได้ว่า n เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ถ้ามีจำนวนเฉพาะจำนวนหนึ่งจำนวนใดที่ได้ในขั้นที่ 1 หาร n ลงตัว จะได้ว่า n ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ทดสอบความเข้าใจ : ให้น้องๆ ใช้วิธีการข้างต้นตรวจสอบว่าจำนวนใดต่อไปนี้ เป็นจำนวนเฉพาะ






ที่มาข้อมูล : กระทรวงศึกษาธิการ คู่มือครูรายวิชาพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 2551.
กระทรวงศึกษาธิการ หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 2554.

    เรื่อง : บทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
    เข้าชม : 29844