ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 
หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน
   

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (3)
 
ระดับชั้น : ม.2

หน้า1 หน้า2


"ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านยาว a, b และ c หน่วย และ c2 = a2 + b2 จะได้ว่า Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีด้านที่ยาว c หน่วย เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก"

คำกล่าวข้างต้นเป็นจริงตามบทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่กล่าวว่า

สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่ง
เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยม
นั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นการนำผลของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาเป็นเหตุ และนำเหตุมาเป็นผลซึ่งอธิบายได้ดังนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีเหตุและผลดังนี้

เหตุ : มีรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ผล : กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อนำผลข้างต้นมาเป็นเหตุ และเหตุมาเป็นผล ก็จะได้บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสดังกล่าวมาข้างต้น

การพิสูจน์บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทำได้ดังนี้


กำหนดให้ Δ ABC มี AB = c หน่วย BC = a หน่วย AC = b หน่วย และ c2 = a2 + b2

ต้องการพิสูจน์ว่า Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี เป็นมุมฉาก

แนวคิดในการพิสูจน์ ต้องสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF อีกรูปหนึ่งให้ด้านประกอบมุมฉาก EF และ DF ยาว a หน่วย และ b หน่วย ตามลำดับ แล้วแสดงให้เห็นว่า Δ DEF Δ ABC

พิสูจน์ สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF ให้ด้านประกอบมุมฉาก EF และ DF ยาว a หน่วย และ b หน่วย ตามลำดับ และ เป็นมุมฉาก ดังรูป



EF = BC = a และ DF = AC = b (จากการสร้าง)
จาก Δ DEF จะได้ DE2 = a2 + b2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
จาก Δ ABC จะได้ c2 = a2 + b2 (กำหนดให้)
ดังนั้น DE2 = c2 (สมบัติของการเท่ากัน)
นั่นคือ DE = c
จะได้ Δ DEF Δ ABC (ด.ด.ด.)
ดังนั้น = = 90° (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่
เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน)
นั่นคือ Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี เป็นมุมฉาก

ข้อควรจำ

ถ้า c2 = a2 + b2 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า c2 > a2 + b2 เป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
ถ้า c2 < a2 + b2 เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม


ตัวอย่างที่ 1 กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงแสดงว่า Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก



วิธีทำ Δ CDB เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ BC2 = CD2 + DB2
= 122 + 162
= 144 + 256
ดังนั้น BC2 = 400
Δ ADC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ AC2 = CD2 + AD2
= 122 + 92
= 144 + 81
ดังนั้น AC2 = 225
จะได้ ----- AC2 + BC2
= 225 + 400
= 625
และ AB2 = (9 + 16)2
= 625
ดังนั้น AB2 = AC2 + BC2

นั่นคือ Δ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี เป็นมุมฉาก



ตัวอย่างที่ 2 Δ PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ตั้งฉากกับ , PM = 8 หน่วย, PQ = 17 หน่วย และ MR = 6 หน่วย Δ PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่



วิธีทำ เนื่องจาก Δ PMR เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ PR2 = PM2 + MR2
= 82 + 62
ดังนั้น PR2 = 64 + 36
= 100
เนื่องจาก Δ PQM เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้ PQ2 = PM2 + QM2
172 = 82 + QM2
ดังนั้น QM2 = 172 - 82
= 289 - 64
= 225
= 15 x 15
นั่นคือ QM = 15
แต่ QR = QM + MR
= 15 + 6
= 21
ดังนั้น QR2 = 212
= 441
PR2 + PQ2
= 100 + 289
= 389
จะได้ QR2 PR2 + PQ2
นั่นคือ Δ PQR ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก


◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊


แบบฝึกหัด

จงแสดงว่า Δ ABC ในแต่ละข้อเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1.




2.





ที่มาข้อมูล : หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 กระทรวงศึกษาธิการ 2544
จำนวนคนอ่าน 24583 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved