ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน
   

ความน่าจะเป็น (4)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า 1 หน้า 2 หน้า 3 หน้า 4


แม้ว่าความน่าจะเป็นช่วยให้เรารู้ว่า เหตุการณ์ที่พิจารณาอยู่นั้น มีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์ความรู้เรื่องความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียว อาจไม่เพียงพอที่จะช่วยตัดสินใจได้ จำเป็นต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจด้วย ซึ่งองค์ประกอบหนึ่งคือผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น ในทางสถิติได้นำความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้นมาพิจารณาประกอบกันเป็นค่าคาดหมาย ซึ่งหาได้จากผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับผลคูณระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของเหตุการณ์

ผลตอบแทนของเหตุการณ์อาจหมายถึง ผลตอบแทนที่ได้ หรือ ผลตอบแทนที่เสีย เช่น ในการเล่นแทงหัวก้อย ถ้าออกหัว นุ้ยจะได้เงิน 1 บาท และถ้าออกก้อย นุ้ยจะต้องเสียเงิน 2 บาท เงิน 1 บาทที่นุ้ยจะได้รับเป็นผลตอบแทนที่ได้ ซึ่งแทนด้วย +1 และเงิน 2 บาทที่นุ้ยจะต้องเสียเป็นผลตอบแทนที่เสีย ซึ่งแทนด้วย -2

ให้น้องๆ พิจารณาการหาค่าความคาดหมายของการพนันโยนเหรียญต่อไปนี้

ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่งอารักษ์และปกรณ์นั่งโต๊ะเดียวกัน ในระหว่างรออาหารอยู่นั้นอารักษ์ได้หยิบเหรียญบาทออกมา 2 เหรียญ แล้วท้าพนันปกรณ์ โดยมีกติกาว่า ให้ปกรณ์โยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าเหรียญที่โยนออกหัวทั้งคู่แล้วอารักษ์จะจ่ายให้ปกรณ์ 2 บาท แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่น ปกรณ์ต้องจ่ายเงินให้อารักษ์ 1 บาท

    ถ้ามีการพนันโยนเหรียญกันแบบนี้เรื่อยๆ หลายๆ ครั้ง น้องๆ คิดว่าอารักษ์หรือปกรณ์จะได้เงินมากกว่ากัน จงอธิบาย

    ในการตอบคำถามข้างต้น เราอาจใช้ค่าแทนความหมายมาช่วยในการพิจารณาดังนี้

    ในการโยนเหรียญบาทที่เที่ยงตรง 2 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง

    ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นมี 4 แบบ คือ HH, TT, HT และ TH

    ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวทั้งคู่ เท่ากับ 14

    ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ออกหัวทั้งคู่ เท่ากับ 34

    เนื่องจากแต่ละครั้งที่ปกรณ์โยนเหรียญ ถ้าเหรียญที่โยนออกเป็น HH อารักษ์จะจ่ายเงินให้ปกรณ์ 2 บาท

    ดังนั้น ผลตอบแทนของเหตุการณ์เป็นการที่ปกรณ์ได้เงิน 2 บาท จึงแทนด้วย +2

    เนื่องจากแต่ละครั้งที่โยนเหรียญ ถ้าเหรียญที่โยนไม่ออก HH ปกรณ์ต้องจ่ายเงินให้อารักษ์ 1 บาท

    ดังนั้น ผลตอบแทนของเหตุการณ์เป็นการที่ปกรณ์จะต้องเสียเงิน 1 บาท จึงแทนด้วย -1

    การพนันโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ค่าความคาดหมายที่ปกรณ์จะได้เงินเป็นดังนี้


    นั่นคือ ค่าคาดหมายที่ปกรณ์จะได้เงินเท่ากับ -0.25 บาท

    แสดงว่า ถ้ามีการพนันโยนเหรียญกันไปเรื่อยๆ หลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยปกรณ์จะเสียเงินครั้งละ 0.25 บาท หรือกล่าวได้ว่า อารักษ์จะได้เงินมากกว่าปกรณ์

ถ้าการพนันโยนเหรียญสองเหรียญข้างต้น มีการเปลี่ยนแปลงกติกาเป็นดังนี้

ให้ปกรณ์โยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าเหรียญที่โยนออกหัวทั้งคู่ แล้วอารักษ์จะจ่ายเงินให้ปกรณ์ 3 บาท แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่น ปกรณ์ต้องจ่ายเงินให้อารักษ์ 1 บาท

    การพนันโยนเหรียญหนึ่งครั้ง จะมีค่าคาดหมายที่ปกรณ์จะได้เงินเปลี่ยนแปลงเป็นดังนี้


    นั่นคือ ค่าคาดหมายที่ปกรณ์จะได้เงินเท่ากับ 0 บาท

    แสดงว่า ถ้ามีการพนันโยนเหรียญกันแบบนี้ไปเรื่อยๆ หลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยทั้งอารักษ์และปกรณ์จะเสมอตัว ไม่มีใครได้เงินมากกว่ากัน

ถ้าการพนันโยนเหรียญสองเหรียญข้างต้น เปลี่ยนแปลงกติกาเป็นดังนี้

ให้ปกรณ์โยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าเหรียญที่โยนออกหัวทั้งคู่ แล้วอารักษ์จะจ่ายเงินให้ปกรณ์ 8 บาท แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่น ปกรณ์ต้องจ่ายเงินให้อารักษ์ 2 บาท

    การพนันโยนเหรียญหนึ่งครั้ง จะมีค่าคาดหมายที่ปกรณ์จะได้เงินเปลี่ยนแปลงเป็น ดังนี้


    นั่นคือ ค่าคาดหมายที่ปกรณ์จะได้เงินเท่ากับ 0.50 บาท

    แสดงว่า ถ้ามีการพนันโยนเหรียญกันแบบนี้ไปเรื่อยๆ หลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยปกรณ์จะได้เงินครั้งละ 0.50 บาท หรือกล่าวได้ว่า ปกรณ์จะได้เงินมากกว่าอารักษ์



หวยทอง เป็นการเสี่ยงโชคชนิดหนึ่ง มีกติกาง่ายๆ เช่น ผู้ขายจะขายหวยหรือสลากแบบสองตัว มีหมายเลขตั้งแต่ 00 ถึง 99 ให้แก่ผู้ซื้อ โดยมีสร้อยคอทองคำหนึ่งเส้นเป็นรางวัลเพียงรางวัลเดียว การออกรางวัลอาศัยเลขท้ายสองตัวของสลากกินแบ่งรัฐบาล

หยาดทิพย์ได้ชวนเพื่อนๆ มาเล่นหวยทอง โดยขายสลากแบบสองตัว หมายเลขละ 100 บาท มีรางวัลเป็นสร้อยคอทองคำหนักหนึ่งสลึงหนึ่งเส้น ราคา 2,500 บาท นิชาได้ซื้อสลากไว้หนึ่งหมายเลข และหยาดทิพย์ขายสลากได้หมดทุกหมายเลข

น้องๆ คิดว่า โดยเฉลี่ยแล้วการซื้อหวยทองหนึ่งหมายเลข ผู้ซื้อจะได้เปรียบหรือเสียเปรียบ

ในการตอบคำถามข้างต้น เราอาจใช้ค่าคาดหมายมาช่วยในการพิจารณา ดังนี้

    เนื่องจากสลากทั้งหมดมี 100 หมายเลข คือ หมายเลขตั้งแต่ 00 ถึง 99

    ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ซื้อสลากหนึ่งหมายเลข และถูกรางวัลเท่ากับ 1100

    ความน่าจะเป็นที่ซื้อสลากหนึ่งหมายเลข และไม่ถูกรางวัลเท่ากับ 99100


    เนื่องจากรางวัลเป็นสร้อยคอทองคำหนักหนึ่งสลึงหนึ่งเส้นราคา 2,500 บาท

    ดังนั้น ผลตอบแทนที่จะได้รับจากการถูกรางวัลเท่ากับ 2,500 บาท และผลตอบแทนที่จะได้รับจากการไม่ถูกรางวัลเท่ากับ 0 บาท
การซื้อสลากหนึ่งหมายเลข ค่าคาดหมายที่นิชาจะได้เงิน เป็นดังนี้


ดังนั้น ค่าคาดหมายที่นิชาได้จากการซื้อสลากหนึ่งหมายเลขเท่ากับ 25 บาท แสดงว่า ในการที่นิชาซื้อหวยทองหนึ่งหมายเลข ราคา 100 บาท มีค่าคาดหมายที่จะได้เงิน 25 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู่ 100 - 25 = 75 บาท

นั่นคือ ถ้าซื้อหวยทองหลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วแต่ละครั้งผู้ซื้อจะเสียเปรียบหรือผู้ขายมีกำไร

จากตัวอย่างการหาค่าคาดหมายที่ปกรณ์ได้เงินจากการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง และการหาค่าคาดหมายที่นิชาได้เงินจากการซื้อหวยทองหนึ่งหมายเลข น้องๆ จะเห็นได้ว่ามีการพิจารณานำค่าต่างๆ มาใช้ในการคำนวณต่างกัน กล่าวคือ

ในการเล่นเกมโยนเหรียญของปกรณ์กับอารักษ์ไม่มีการจ่ายเงินค่าโยนเหรียญล่วงหน้าแต่ละครั้ง แต่จะมีการรับเงินหรือจ่ายเงินหลังจากที่ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญได้เกิดขึ้นแล้ว จึงต้องนำจำนวนเงินที่ปกรณ์จะได้รับ และจำนวนเงินที่ปกรณ์อาจจะต้องเสียมาใช้เป็นผลตอบแทนของเหตุการณ์ในการคำนวณหาค่าคาดหมายด้วย

สำหรับในการซื้อหวยทองของนิชา นิชาต้องเสียเงินซื้อสลากล่วงหน้าก่อนจะออกรางวัล ซึ่งจำนวนเงินนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่ถูกรางวัลหรือไม่ถูกรางวัล จึงไม่ต้องนำมาใช้ในการคำนวณหาค่าคาดหมายของเงินที่นิชาได้รับ แต่จะนำเงินที่ซื้อสลากมาเปรียบเทียบค่าคาดหมายที่นิชาจะได้เงิน ว่าเป็นการได้เปรียบหรือเสียเปรียบ





น้องๆ เคยสังเกตเห็นหรือไม่ว่า มีผู้คนจำนวนมากซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาลหรือลอตเตอรี่ ทั้งๆ ที่รู้ว่า โอกาสที่จะถูกรางวัลค่อนข้างน้อยก็ตาม ทั้งนี้อาจเป็นเพราะแรงจูงใจจากเงินรางวัลจำนวนมาก จึงทำให้พวกเขาตัดสินใจที่จะเสี่ยงโชค

สลากกินแบ่งรัฐบาลแต่ละฉบับจะมีเลขโดดอยู่ทั้งหมด 6 หลัก โดยเริ่มตั้งแต่หมายเลข 000000 ถึง 999999 ซึ่งผู้ซื้อสามารถเลือกหมายเลขที่ต้องการเสี่ยงโชคได้ ด้วยความคาดหวังว่าหมายเลขที่ตนเลือกจะถูกรางวัล


ตัวอย่าง สลากกินแบ่งรัฐบาล



เงื่อนไขเงินรางวัลสลากกินแบ่งรัฐบาล

สลาก 1 ชุด มี 1 ล้านฉบับ ราคาฉบับละ 40 ถ้าจำหน่ายหมด กำหนดรางวัลต่อชุด ดังนี้


รางวัลที่ 1
มี
1 รางวัล
รางวัลละ
2,000,000
บาท
รางวัลที่ 2
มี
5 รางวัล
รางวัลละ
100,000
บาท
รางวัลที่ 3
มี
10 รางวัล
รางวัลละ
40,000
บาท
รางวัลที่ 4
มี
50 รางวัล
รางวัลละ
20,000
บาท
รางวัลที่ 5
มี
100 รางวัล
รางวัลละ
10,000
บาท
รางวัลข้างเคียงรางวัลที่ 1
มี
2 รางวัล
รางวัลละ
50,000
บาท
รางวัลเลขท้าย 3 ตัว เสี่ยง 4 ครั้ง
มี
4,000 รางวัล
รางวัลละ
2,000
บาท
รางวัลเลขท้าย 2 ตัว เสี่ยง 1 ครั้ง
มี
10,000 รางวัล
รางวัลละ
1,000
บาท
สลาก 1 ชุด
มี
14,168 รางวัล
เป็นเงิน
23,000,000
บาท


จากข้อมูลข้างต้น สมมติว่าผู้ปกครองของน้องๆ ต้องการเสี่ยงโชค โดยการซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาลหนึ่งฉบับ


หมายเหตุ ในที่นี้ไม่ได้คำนึงถึง "รางวัลพิเศษ" ซึ่งมี 1 รางวัล และถือว่าสลาก 1 ฉบับ ถูกรางวัลได้เพียงรางวัลเดียว

จากตัวอย่างการพนันและการเสี่ยงโชคที่ยกตัวอย่างไปข้างต้น และทั่วๆ ไป เจ้ามือจะกำหนดกติกาและเงื่อนไขการจ่ายรางวัลที่ทำให้เจ้ามือได้เปรียบ มีกำไรเป็นจำนวนมาก การพนันและการเสี่ยงโชคเป็นอบายมุขอย่างหนึ่ง ที่ในระยะยาวผู้เล่นจะเสียเปรียบเจ้ามือ ทำให้เจ้ามือร่ำรวยและผู้เล่นขาดทุน จากค่าคาดหมายที่แสดงมา ทำให้เห็นว่า คนส่วนใหญ่หวังรวยจากการพนันและการเสี่ยงโชคทุกชนิดเป็นไปได้ยากมาก

นอกจากในด้านการพนันแล้ว ในปัจจุบัน นักธุรกิจ นักประกันภัย และนักพยากรณ์ต่างๆ ได้นำความรู้เรื่อง ความน่าจะเป็นและค่าคาดหมาย มาช่วยในการตัดสินใจว่า เหตุการณ์ที่จะพิจารณานั้น จะเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใดและจะได้รับหรือเสียผลประโยชน์ เช่น ในด้านธุรกิจ ใช้การคาดหมายในการทำนายผลกำไรที่จะได้จากการผลิตสินค้าใหม่ ในด้านการประกันภัย ใช้การคาดหมายในการกำหนดเงินเบี้ยประกันที่ลูกค้าจะต้องส่งมาในแต่ละงวด เพื่อที่บริษัทยังได้ผลประโยชน์ตลอดอายุของกรมธรรม์





ที่มาข้อมูล : หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ 2544
จำนวนคนอ่าน 24824 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved