ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน
   

ระบบสมการเชิงเส้น (1)
 
ระดับชั้น : ม.3

หน้า 2 หน้า 3

คลิก! ที่ตัวเลขข้างบนดูหน้าถัดไป >>

น้องๆ เคยทราบมาแล้วว่า สมการ เช่น 2x + 4y = 5, 3x – 8 = 2y, y = -x + และ 5x – 2y – 4 = 0 เป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ที่มีรูปทั่วไปเป็น Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เป็นค่าคงตัว ที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน

เมื่อ x และ y แทนจำนวนจริงใดๆ กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรดังกล่าวจะเป็นเส้นตรง เช่น สมการเชิงเส้นสองตัวแปร 3x – 2y = 4 เมื่อ x และ y แทนจำนวนจริงใดๆ จะมีกราฟเป็นเส้นตรง ดังนี้


เราทราบมาแล้วว่าคู่อันดับ (x, y) เป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 3x – 2y = 4 ก็ต่อเมื่อแทนค่า x และค่า y ในสมการ 3x – 2y = 4 แล้วทำให้สมการเป็นจริง เราเรียกคู่อันดับที่สอดคล้องกันนี้ว่า คำตอบของสมการ 3x – 2y = 4 คู่อันดับ (x, y) ที่เป็นคำตอบเหล่านั้นเป็นพิกัดของจุดที่อยู่บนเส้นตรง 3x – 2y = 4 ในทางกลับกันคู่อันดับ (x, y) ที่เป็นพิกัดของจุดที่อยู่บนเส้นตรง 3x – 2y = 4 ก็เป็นคำตอบของสมการ 3x – 2y = 4 ด้วย

เนื่องจากคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 3x – 2y = 4 มีมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นสมการ 3x – 2y = 4 จึงมีคำตอบมากมายไม่จำกัด

โดยทั่วไปเราเรียกคู่อันดับ (x, y) ที่สอดคล้องกับสมการ Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เป็นค่าคงตัว ที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน ว่าคำตอบของสมการ และกราฟแสดงคำตอบของสมการ Ax + By + C = 0 นี้ จะเป็นเส้นตรง Ax + By + C = 0


...ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร...
  ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้

"เศษสามส่วนสี่ของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 57 และสามเท่าของจำนวนน้อย มากกว่าจำนวนมากอยู่ 40 จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น"

จากปัญหาดังกล่าว เมื่อกำหนดให้ x แทนจำนวนน้อย และ y แทนจำนวนมาก จะเขียนสมการ ได้ดังนี้


ระบบที่ประกอบด้วยสมการ และสมการ ข้างต้นเป็นตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร


ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจริงที่ a, b ไม่เป็นศูนย์หน้าพร้อมกัน
และ c, d ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกระบบที่ประกอบด้วยสมการ

ax + by = e

cx + dy = f

ว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี x และ y เป็นตัวแปร
กล่าวว่า a และ c เป็นสัมประสิทธิ์ของ x
...........b และ d เป็นสัมประสิทธิ์ของ y

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรคือ คู่อันดับ (x, y) ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองของระบบสมการ หรือ คู่อันดับ (x, y) ที่ค่า x และ y ทำให้สมการทั้งสองของระบบสมการเป็นจริง






ลองพิจารณาหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรด้วยการเขียนกราฟของแต่ละสมการบนระนาบโดยใช้แกนคู่เดียวกัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

1. กำหนดให้
3x - y
=
3 ------
2x + y
=
2 ------

เขียนกราฟของสมการทั้งสอง ได้ดังนี้


จากกราฟ จะเห็นว่า มีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำตอบของสมการ 3x – y = 3 และมีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำตอบของสมการ 2x + y = 2

เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเป็นเส้นตรงสองเส้นซึ่งตัดกันที่จุด (1, 0) เพียงจุดเดียว แสดงว่ามีคู่อันดับเพียงคู่เดียว คือ (1, 0) ที่เป็นคำตอบของระบบสมการ

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ (1, 0)

2. กำหนดให้
x - 2y
=
1 ------
2x - 4y
=
2 ------

เขียนกราฟของสมการทั้งสอง ได้ดังนี้


จากกราฟ จะเห็นว่ามีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำตอบของสมการ x – 2y = 1 และมีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำตอบของสมการ 2x – 4y = 2

เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเป็นเส้นตรงสองเส้นซึ่งทับกัน แสดงว่าคู่อันดับทุกคู่อันดับที่เป็นพิกัดของจุดบนเส้นตรงที่ทับกันนี้ เป็นคำตอบของระบบสมการ

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคำตอบมากมายไม่จำกัด

3. กำหนดให้
3x
=
2y - 6 ------
2y - 3x
=
-3 ------

เขียนกราฟของสมการทั้งสอง ได้ดังนี้


จากกราฟ จะเห็นว่ามีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำตอบของสมการ 3x = 2y – 6 และมีคู่อันดับมากมายที่เป็นคำตอบของสมการ 2y – 3x = 3

เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเป็นเส้นตรงสองเส้นซึ่งขนานกัน จึงไม่มีคู่อันดับใดเป็นคำตอบของสมการทั้งสอง

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงไม่มีคำตอบ

จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอาจมีคำตอบเดียว มีหลายคำตอบ หรือไม่มีคำตอบก็ได้






ที่มาข้อมูล : หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ 2544
จำนวนคนอ่าน 57602 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved