ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน
   

กราฟ (2)
 
ระดับชั้น : ม.3

link1 link3

เราเคยทราบกันมาแล้วว่า ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองชุดที่มีกราฟอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น

   ต่อไปเราจะมาลองพิจารณาความสัมพันธ์ ดังนี้

สามเท่าของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งมากกว่าจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่งอยู่ 10

ถ้าให้
x
แทนจำนวนเต็มจำนวนแรก
y
แทนจำนวนเต็มจำนวนที่สอง

เขียนข้อความข้างต้นเป็นสมการได้เป็น 3x – y = 10

เมื่อกำหนดค่า x และหาค่า y ที่เป็นไปได้ตามเงื่อนไขของข้อความข้างต้น จะได้ดังตารางต่อไปนี้

x
-10
-5
0
5
10
y
-40
-25
-10
5
20

จากตาราง คู่อันดับที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเต็มจำนวนแรกและจำนวนเต็มจำนวนที่สองคือ (-10, -40), (-5, -25), (0, -10), (5, 5) และ (10, 20)

   นำคู่อันดับที่ได้มาเขียนกราฟได้ดังนี้


จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า กราฟที่ได้เป็นจุดที่เรียงอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ความสัมพันธ์ของจำนวนเต็มทั้งสองจึงเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น

สมการของความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แสดงความเกี่ยวข้องระหว่างปริมาณสองชุด จะเรียกว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นสมการที่สามารถเขียนได้ในรูปทั่วไปเป็น Ax + By + C = 0 เมื่อ x, y เป็นตัวแปร A, B และ C เป็นค่าคงที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน

ลักษณะสำคัญของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร Ax + By + C = 0 คือ

  1. มีตัวแปรสองตัว และต้องไม่มีการคูณกันของตัวแปร


  2. เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัว ต้องเท่ากับหนึ่ง


  3. สัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ได้ แต่สัมประสิทธิ์ของตัวแปรทั้งสองจะเป็นศูนย์พร้อมกันไม่ได้
กรณีที่กำหนดสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในรูป Ax + By + C = 0 ถ้าไม่ระบุเงื่อนไขของ x และ y ให้ถือว่า x และ y แทนจำนวนจริงใดๆ และกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนี้ จะเป็นเส้นตรงที่เรียกว่า กราฟเส้นตรง

เมื่อกำหนดสมการเชิงเส้นสองตัวแปรให้ เราสามารถหาคู่อันดับ (x, y) ที่เมื่อแทนค่า x และค่า y ในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง โดยการกำหนดค่า x ในสมการแล้วหาค่า y ดังตัวอย่างเช่น

กำหนดสมการ 5x + 3y – 10 = 0
ถ้ากำหนดค่า x เป็น -1 แล้วแทนค่า x ด้วย -1 ในสมการ 5x + 3y – 10 = 0
จะได้
5(-1) + 3y - 10
=
0
3y - 15
=
0
ดังนั้น
y
=
5
จะเห็นได้ว่า เมื่อแทน x ด้วย -1 และแทน y ด้วย 5 ในสมการ 5x + 3y - 10 = 0
จะได้
5(-1) + 3(5) - 10
=
0
-5 + 15 - 10
=
0
ดังนั้น
0
=
0...........เป็นสมการที่เป็นจริง
จะเรียกคู่อันดับ (-1, 5) ว่า คู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y - 10 = 0
นอกจากคู่อันดับ (-1, 5) แล้วเรายังสามารถหาคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y - 10 = 0 ได้อีกมากมาย เช่น
ถ้าให้้
x
=
0
เมื่อแทน x ด้วย 0 ในสมการ 5x + 3y - 10 = 0
จะได้
5(0) + 3y - 10
=
0
3y
=
10
ดังนั้น
y
=
ดังนั้น คู่อันดับ (0, ) เป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y - 10 = 0 ด้วย
ถ้าให้ x = 2
เมื่อแทน x ด้วย 2 ในสมการ 5x + 3y - 10 = 0
จะได้
5(2) + 3y - 10
=
0
3y
=
-10 + 10
3y
=
0
y
=
0
ดังนั้น คู่อันดับ (2, 0) เป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y - 10 = 0 เช่นเดียวกัน
เมื่อนำคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y - 10 = 0 เช่น (-1, 5), (0, ) และ (2, 0) มาเขียนกราฟ จะได้กราฟเป็นจุดที่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ดังนี้


น้องๆ ทราบมาแล้วว่า ถ้าไม่ระบุเงื่อนไขของ x และ y ในสมการ เช่น 5x + 3y – 10 = 0 ให้ถือว่าค่า x และ y แทนจำนวนจริงใดๆ นั่นหมายความว่า ยังมีคู่อันดับ (x, y) อีกมากมายเป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y – 10 = 0 และจุดที่มีคู่อันดับ (x, y) เหล่านั้นก็จะอยู่บนเส้นตรงที่เป็นกราฟของสมการนี้ด้วย ดังนี้


ในทางกลับกัน เมื่อมีจุดใดๆ อยู่บนกราฟของสมการ 5x + 3y – 10 = 0 พิกัดของจุดเหล่านั้นจะเป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ เช่น มีจุด A(5, -5) อยู่บนกราฟของสมการ 5x + 3y – 10 = 0 ดังรูป

จะเห็นว่า เมื่อแทน x ด้วย 5 และแทน y ด้วย -5 ในสมการ 5x + 3y - 10 = 0
จะได้
5(5) + 3(-5) - 10
=
0
25 - 15 - 10
=
0
0
=
0...........เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น (5, -5) เป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y - 10 = 0

โดยทั่วไปเมื่อกำหนดสมการเชิงเส้นสองตัวแปรมาให้ คู่อันดับสอดคล้องกับสมการจะเป็นพิกัดของจุดที่อยู่บนกราฟของสมการที่มีลักษณะเป็นเส้นตรง ในทางกลับกันพิกัดของจุดทุกจุดที่อยู่บนกราฟของสมการ จะเป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ จึงอาจกล่าวได้ว่า เส้นตรงที่เป็นกราฟของสมการ เช่น 5x + 3y – 10 = 0 เป็นเส้นตรง 5x + 3y – 10 = 0

จากการหาคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ 5x + 3y – 10 = 0 ข้างต้น จะเห็นว่า ในการหาแต่ละคู่อันดับนั้น เมื่อกำหนดค่า x แล้วแทนค่า x ในสมการเพื่อหาค่า y จะต้องเขียนสมการใหม่เพื่อหาค่า y ทุกครั้งที่กำหนดค่า x เราจึงอาจเขียนสมการ 5x + 3y – 10 = 0 ให้อยู่ในรูปที่ง่ายต่อการหาค่า y โดยใช้สมบัติของการเท่ากัน เช่น

จะได้
5x + 3y - 10
=
0
นำ
10 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
5x + 3y
=
10
นำ
5x มาลบทั้งสองข้างของสมการ
จะได
3y
=
10 - 5x
นำ
3 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
y
=
เมื่อต้องการหาคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ ก็กำหนดค่า x และแทนค่า x ในสมการ y = ทำให้หาค่า y ได้รวดเร็วขึ้น

เราทราบมาแล้วว่า สามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดใดๆ ที่แตกต่างกันได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น ดังนั้นเพื่อความสะดวกรวดเร็วในการเขียนกราฟเส้นตรง เราจึงเลือกคู่อันดับสองคู่อันดับสอดคล้องกับสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่กำหนดให้ และเขียนกราฟของคู่อันดับทั้งสองบนระนาบแล้วลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดนั้น เส้นตรงนั้นจะเป็นกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวที่กำหนดให้ เมื่อได้กราฟเส้นตรงแล้วควรจะเขียนสมการกำกับไว้ที่กราฟนั้นด้วย

อนึ่ง ในการเขียนกราฟเส้นตรงโดยใช้จุดเพียงสองจุดนั้น ถ้าคำนวณค่า x หรือ ค่า y ในคู่อันดับไม่ถูกต้อง จะทำให้กราฟที่ได้ไม่ถูกต้องไปด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันความผิดพลาด ควรเลือกคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้เพิ่มอีกหนึ่งคู่อันดับรวมเป็นสามคู่อันดับ เพราะถ้าหากจุดใดจุดหนึ่งไม่ถูกต้อง จุดทั้งสามก็จะไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทำให้เราทราบว่า เกิดความผิดพลาดซึ่งจะต้องตรวจสอบการคำนวณและการหาตำแหน่งของจุดอีกครั้งหนึ่ง




จงเขียนกราฟของสมการ y = 2x - 3

กำหนดค่า x และหาค่า y จากสมการ y = 2x - 3

x
-2
0
2
y = 2x -3
-7
-3
1


จะได้กราฟของสมการ y = 2x - 3 เป็นดังนี้





จงเขียนกราฟของสมการ 2x + y = 3

x
-2
0
2
กำหนดค่า x และหาค่า y
จากสมการ y = 3 - 2x
y = 3 - 2x
7
3
-1


จะได้กราฟของสมการ 2x - y = 3 เป็นดังนี้


ในการหาคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เพื่อความสะดวกในการคำนวณ อาจหาคู่อันดับสองคู่อันดับ โดยการกำหนดค่า x เป็น 0 แล้วหาค่า y จากสมการ และกำหนดค่า y เป็น 0 แล้วหาค่า x จากสมการ จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ดังตัวอย่าง






x
-2
0
2
y
0
1
2



ลองพิจารณากราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัว โดยพิจารณา A และ B ในกรณีต่างๆ ดังนี้

กรณีที่ 1 เมื่อ ....A = 0....และ ... B ≠ 0
จากสมการ ......Ax + By + C = 0 .....เมื่อ.. A = 0
จะได้สมการเป็น ....(0)x + By + C = 0
หรือ .............................By + C = 0
ดังนั้น .................................
ตัวอย่าง
จงเขียนสมการของกราฟ
2y - 6
=
0
จากสมการ
2y - 6
=
0
จะได้
y
=
y
=
3
หรือเขียนกราฟของสมการ ....2y - 6 = 0 ....หรือสมการ .... y = 3 ...ได้ดังนี้
x
-2
0
2
y
3
3
3



กรณีที่ 2 เมื่อ ....B = 0....และ ... A ≠ 0
จากสมการ ......Ax + By + C = 0 .....เมื่อ.. B = 0
จะได้สมการเป็น ....Ax + (0)y + C = 0
หรือ .............................Ax + C = 0
ดังนั้น .................................
ตัวอย่าง
จงเขียนสมการของกราฟ
2x - 8
=
0
จากสมการ
2x - 8
=
0
จะได้
x
=
x
=
4
หรือเขียนกราฟของสมการ ....2x - 8 = 0 ....หรือสมการ .... x = 4 ...ได้ดังนี้
x
4
4
4
y
-2
0
2


คำตอบที่ได้จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 ข้างต้นเป็นไปตามข้อสรุปโดยทั่วๆ ไป ดังนี้

1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรูป Ax + By + C = 0 เมื่อ A = 0 และ B ≠ 0 จะได้สมการ (0)x + By + C = 0 หรือ มีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x และตัดแกน y ที่จุด และสมการ y = 0 มีกราฟเป็นแกน x

2. สมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรูป Ax + By + C = 0 เมื่อ B = 0 และ A ≠ 0 จะได้สมการเป็น A(x) + (0)y + C = 0 หรือ มีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ที่จุด และสมการ x = 0 มีกราฟเป็นแกน Y


กรณีที่ 3 เมื่อ ....A ≠ 0....และ ... B ≠ 0
น้่องๆ เคยเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรูป Ax + By + C = 0 เมื่อ A ≠ 0 และ B ≠ 0 มาบ้างแล้ว เช่น กราฟของสมการ 2x - y + 3 = 0 ซึ่งมี A = 2 และ B = -1 จะพบว่า กราฟของสมการ 2x - y + 3 = 0 หรือ y = 2x + 3 ไม่ขนานกับแกน X และไม่ขนานกับแกน Y ดังรูป
x
-1
0
1
y
1
3
5


เพื่อความสะดวกในการเขียนกราฟ Ax + By + C = 0 เมื่อ A ≠ 0 และ B ≠ 0 เรานิยมจัดสมการให้อยู่ในรูปที่สะดวกต่อการแทนค่า x และหาค่า y ดังนี้


ให้น้องๆ พิจารณาตัวอย่างของกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สองสมการในรูป y = a1x + b1 และ y = a2x + b2 เมื่อ a1, a2, b1, และ b2 เป็นค่าคงตัว โดยใช้แกนคู่เดียวกันในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) ..เมื่อ ... a1 = a2

......(1) กราฟของสมการ y = 2x + 1 และ y = 2x - 2 เป็นดังนี้

x
-1
0
1
y = 2x + 1
-1
1
3
y = 2x - 2
-4
-2
0



......(2) กราฟของสมการ y = -3x + 1 และ y = -3x - 2 เป็นดังนี้

x
-1
0
1
y = -3x + 1
4
1
-2
y = -3x - 2
1
-2
-5


2) เมื่อ .... a1 ≠ a2

......(1) กราฟของสมการ y = 3x - 1 และ y = -x + 3 เป็นดังนี้

x
-1
0
1
y = 3x - 1
-4
-1
2
y = -x + 3
4
3
2




......(2) กราฟของสมการ y = x + 2 และ y = -3x + 2 เป็นดังนี้

x
-2
0
2
y = x + 2
-1
2
5
x
-1
0
1
y = -3x + 2
5
2
-1




คำตอบที่ได้จากกิจกรรมของกรณีที่ 3 ข้างต้น เป็นไปตามข้อสรุปโดยทั่วไป ดังนี้

กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สองสมการที่อยู่ในรูป y = a1x + b1 และ y = a2x + b2 เมื่อ a1, a2, b1, และ b2 เป็นค่าคงตัว มีลักษณะดังนี้

  • สัมประสิทธิ์ของ x ของสมการทั้งสองเท่ากัน (a1 = a2) ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองของสมการเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน


  • สัมประสิทธิ์ของ x ของสมการทั้งสองไม่เท่ากัน (a1≠ a2) ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองของสมการเป็นเส้นตรงที่ตัดกัน


ที่มาข้อมูล : หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ 2544
จำนวนคนอ่าน 19564 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved