ข่าว O-NET/GAT/PAT
ข่าวการศึกษา
คะแนน แอดมิชชั่น
สูงสุด-ต่ำสุด
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
บทเรียนคณิตฯ พื้นฐาน
แบบฝึกหัดคณิตฯ พื้นฐาน
บทเรียนคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบฝึกหัดคณิตฯ เพิ่มเติม
แบบทดสอบหลังการเรียนรู้
ตะลุยโจทย์ยาก
รวมสูตรคณิตศาสตร์
สนุกคิดสะกิดเชาวน์
เกร็ดคณิตศาสตร์
พจนานุกรม
วิทยาศาสตร์
ฟิสิกส์ - เคมี - ชีวะ
ภาษาอังกฤษ
ภาษาไทย
ดาราศาสตร์
ประวัติศาสตร์
มุมคนเก่ง
คลังข้อสอบเก่า
คลังความรู้หลักสูตรเก่า
I.Q. Tests
 

 

หน้าแรก | มุมนักเรียน | หน้าแรกคณิตศาสตร์ | บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน
   

พื้นที่ผิวและปริมาตร (3)
 
ระดับชั้น : ม.3

 หน้า 1 หน้า 2 หน้า 4 หน้า 5
ปริมาตรของพีระมิดและกรวย


น้องๆ รู้จักปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอกมาแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะต้องนำความรู้ดังกล่าวมาใช้ประกอบในการหาปริมาตรของพีระมิดและกรวย เพื่อให้ได้แนวคิดในการหาปริมาตรของพีระมิดและกรวย

:::: ปริมาตรของพีระมิด


สมมติว่าเราเททรายจากพีระมิดลงในปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันจำนานสามครั้ง จึงจะได้ทรายเต็มปริซึมพอดี เราจึงคาดการณ์ว่าปริมาตรของพีระมิดเป็นหนึ่งในสามของปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน ซึ่งอาจแสดงความสัมพันธ์ได้ด้วยรูปภาพ ดังนี้


ในทางคณิตศาสตร์ ข้อความคาดการ์ข้างต้นเป็นจริงตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้

ปริมาตรของพีระมิด = ของปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากับพื้นที่ฐาน
ของพีระมิดและความสูงเท่ากับความสูงของพีระมิด
= x (พื้นที่ฐานของปริซึม x ความสูงของปริซึม)
= x (พื้นที่ฐานของพีระมิด x ความสูงของพีระมิด)
โดยทั่วไปสูตรการหาปริมาตรของพีระมิด เป็นดังนี้

ปริมาตรของพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง




*********::: (5) จงตอบคำถารมต่อไปนี้ พร้อมแสดงวิธีทำ
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 4 นิ้ว ยาว 5 นิ้ว และสูง 6 นิ้ว ใช้สำหรับการทดลอง
เรื่องการกระจายของแสงปริมาตรของพีระมิดนี้เป็นเท่าใด ?
  มาดูเฉลยวิธีทำกันได้แล้วค่ะ !!


Click me !!! คลิกสิ 

:::: ปริมาตรของกรวย

น้องๆ ทราบแล้วว่า รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านมากๆ จะมีรูปร่างใกล้เคียงกับวงกลม ดังนั้นกรวยจึงมีลักษณะใกล้เคียงกับพีระมิดที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจำนวนด้านมากๆ

น้องๆ ได้เห็นความสัมพันธ์ของปริมาตรของพีระมิดกับปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันมาแล้ว ปริมาตรของกรวยก็สัมพันธ์กับปริมาตรของทรงกระบอกในทำนองเดียวกัน กล่าวคือ

ปริมาตรของกรวย = x พื้นที่ฐาน x สูง
หรือ ปริมาตรของกรวย = πr2h เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย
และ h แทนความสูงของกรวย

เพื่อเป็นการตรวจสอบการหาปริมาณของกรวยข้างต้น น้องๆ อาจทำการทดลองเททรายจากทรงกระบอกที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันกับของกรวย จะพบว่า เททรายลงในกรวยที่มีขนาดใหญ่เท่ากันได้เต็ม 3 อันพอดี ซึ่งอาจแสดงความสัมพันธ์ด้วยรูปภาพได้ ดังนี้




*********::: (6) จงตอบคำถารมต่อไปนี้ พร้อมแสดงวิธีทำ

กรวยใบตองจำนวน 100 ชิ้น ใส่ขนมกล้วยได้ 980 ลูกบาศก์เซนติเมตร และกรวยใบตองสูง 5 เซนติเมตร จงหาว่า เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานกรวยใบนี้ยาวเท่าใด ? (กำหนดให้ π ≈ 3.14)
  มาดูเฉลยวิธีทำกันได้แล้วค่ะ !!





พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากจำลองที่ประกอบขึ้นจากแผ่นกระดาษบางๆ วางซ้อนกัน ดังรู เราสามารถใช้มือดันกองกระดาษรูปซ้ายให้ค่อยๆ เอียงเป็นเหมือนรูปขวาได้ ถึงแม้รูปร่างจะเปลี่ยนไปจากเดิม แต่ปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติรูปขวายังคงเท่ากับปริมาตรของรูปซ้าย สิ่งที่ต้องสังเกตก็คือ พื้นที่ฐานและความสูงของกองกระดาษรูปขวาไม่ได้เปลี่ยนแปลง


ข้อสังเกตนี้เป็นจริงสำหรับรูปเรขาคณิตสามมิติอื่นๆ เช่น ทรงกระบอก กรวยและพีระมิดด้วย


หลักการคงที่ของปริมาตรในลักษณะดังกล่าวนี้มีชื่อเรียกว่า หลักการของ คาวาลิเอริ (Cavalieri’s Principle) ตามชื่อของ โบนาเวนตูรา คาวาเอริ (Bonaventura Cavalieri) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี

จากหลักการของคาวาลิเอริ ช่วยให้เราหาปริมาตรของปริซึมเอียง ทรงกระบอกเอียง พะระมิดและกรวยเอียงได้ โดยใช้สูตรการคำนวณเช่นเดียวกับที่น้องๆ ได้เรียนมาแล้ว



ที่มาข้อมูล : หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 กระทรวงศึกษาธิการ 2544
จำนวนคนอ่าน 14779 คน
   
 

© 2000 - 2014 www.myfirstbrain.com All Rights Reserved